Значение производной в точке касания

Производная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной к оси $X$, т.е её угловому коэффициенту.

Пусть $A(-2; -4), \quad B(1; 2), \quad C(1; -4)$

Найдём $\tg \angle BAC$:

$$\tg BAC = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{3} = 2$$

Производная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной к оси $X$, т.е её угловому коэффициенту.

Пусть $A(-2; -9), \quad B(-5; -3), \quad C(-5; -9)$

Так как угол наклона касательной тупой, её угловой коэффициент отрицателен. Найдём $\tg \angle BAC$:

$$\tg \angle BAC = -\frac{BC}{AC} = -\frac{6}{3} = -2$$

Производная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной к оси $X$, т.е её угловому коэффициенту.

Пусть $A(2; -2), \quad B(-6; 0), \quad C(-6; -2)$

Так как угол наклона касательной тупой, её угловой коэффициент отрицателен. Найдём $\tg \angle BAC$:

$$\tg \angle BAC = -\frac{BC}{AC} = -\frac{2}{8} = -0,25$$

Для того чтобы касание было возможным 2 данные функции должны удовлетворять следующим условиям:

$$\begin{cases} f_1'(x) = f_2'(x)\\ f_1(x) = f_2(x) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3 = 6x - 3 \\ 3x + 4 = 3x^2 - 3x + c\\ \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ 3x^2 - 6x + c - 4 = 0\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ 3 - 6 + c - 4 = 0\\ \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ c = 7\\ \end{cases}$$

Пусть точка $A = (4, 8) $, точка $B = (0, -4)$, а точка $C = (4, -4)$ .

Тангенс угла наклона касательной к графику функции равен значению производной в точке касания. Тогда из прямоугольного треугольника $ABC$ найдём тангенс угла $ABC$ (тангенс угла наклона касательной). $AC = 12$, $BC = 4$.

$$f'(x_0) = \tg \angle ABC = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{4} = 3$$