Механика

Если груз поднимается равномерно, то его ускорение равно нулю, значит, равнодействующая сила, действующая на груз, также равна нулю.

В данном случае груз поднимают, поворачивая ворот, и при этом создается момент силы $F l$, который должен уравновешивать момент силы, действующей на вал ворот, равный $F_2 l_2$, где $l_2 = 0{,}15$ м — радиус вала, а $F_2 = mg$ — сила, действующая на вал.

Условие равновесия моментов: $$F l = m g l_2$$

Выражаем длину рукоятки: $$l = \frac{m g l_2}{F}$$ $$l = \frac{30 \cdot 10 \cdot 0{,}15}{75} = 0{,}6~\text{м}$$

Ответ: $ l = 0{,}6 м$

Поскольку жидкости находятся в состоянии равновесия, их давления у границы должны быть равны. Слева давление складывается из давления первой жидкости $\rho_1 g (H-b)$ и давления второй жидкости $\rho_2 g b$, справа действует только давление второй жидкости $\rho_2 g h$.

Приравним давления: $$\rho_1 g (H-b) + \rho_2 g b = \rho_2 g h$$

Находим плотность первой жидкости: $$\rho_1 = \frac{\rho_2 (h-b)}{H-b}$$

Подставим значения ($\rho_2 = 1000~\text{кг}/\text{м}^3$ — плотность воды): $$\rho_1 = \frac{1000 \cdot (0{,}4 - 0{,}2)}{0{,}45 - 0{,}2} = \frac{1000 \cdot 0{,}2}{0{,}25} = 800~\text{кг}/\text{м}^3$$

Ответ: $800~\text{кг}/\text{м}^3$

На шар действует три силы: сила тяжести оболочки $m_{об} g$, архимедова сила $F_A$ и сила тяжести газа, находящегося внутри $\displaystyle m_r g$.

Пишем условие равновесия (шар плавает в воздухе): $$F_A = m_{об} g + m_r g$$ где $F_A = \rho_s g V$, $V$ — объём шара; $\rho_s = 0{,}9~\text{кг}/\text{м}^3$ — плотность воздуха; $m_r = \rho_r V$ — масса газа в шаре; $\rho_r = 0{,}75~\text{кг}/\text{м}^3$ — плотность газа.

Запишем уравнение сил: $$\rho_s g V = m_{об} g + \rho_r V g$$ Поделим на $g$: $$\rho_s V = m_{об} + \rho_r V$$ $$m_{об} = (\rho_s - \rho_r) V$$

Подставляя значения: $$m_{об} = (0{,}9 - 0{,}75) \cdot 600 = 0{,}15 \cdot 600 = 90~\text{кг}$$ Ответ: $90~\text{кг}$

Натяжение нити определяется разностью между силой тяжести груза и выталкивающей силой Архимеда:

$$T = mg - F_A = mg - \rho g V,$$

где $\rho$ — плотность жидкости, $V$ — объем погружённой части груза.

Выразим плотность: $$\rho = \frac{mg - T}{gV}$$

Подставим значения: $$\rho = \frac{2 \cdot 10 - 12}{10 \cdot 10^{-3}} = \frac{8}{0.01} = 800~\text{кг}/\text{м}^3$$

Ответ: $\rho = 800~\text{кг}/\text{м}^3$

Поскольку горизонтальных внешних сил нет, выполняется закон сохранения импульса: $$\sum \vec{p}_{\text{до}} = \sum \vec{p}_{\text{после}}$$ До прыжка только человек движется: $p_\text{до} = m_1 v_1$, сани покоятся. После прыжка они движутся совместно: $$m_1 v_1 = (m_1 + m_2)v_2$$ Подставляем значения: $$60 v_1 = 300 \cdot 0.5 = 150 \implies v_1 = \frac{150}{60} = 2.5~\text{м}/\text{с}$$

Ответ: $2.5~\text{м}/\text{с}$