МКТ и Термодинамика

Найдем количество молей газа по уравнению Менделеева–Клапейрона: $$\nu = \frac{pV}{RT}$$ где $R = 8.31$ — универсальная газовая постоянная, $T = 300~\text{K}$ — температура газа, $p = 2 \cdot 10^4~\text{Па}$. Подставляя значения: $$\nu = \frac{2 \cdot 10^4 \cdot 0.25}{8.31 \cdot 300} \approx 2~\text{моль}$$

Ответ: $\nu \approx 2~\text{моль}$

Для $20^\circ\text{C}$, значение насыщения: $\rho_\text{нас} = 1.73 \cdot 10^{-2}~\text{кг/м}^3 = 17.3~\text{г/м}^3$.

$$\varphi = \frac{\rho}{\rho_\text{нас}} \cdot 100\%=\frac{6.9}{17.3} \cdot 100\% \approx 40\%$$

Ответ: $\approx 40\%$

Свяжем массу водяных паров, влажность $\varphi$, объём и плотность $\rho$:

$$m = \rho \cdot V$$

Для $V = 1~\text{м}^3$ (по условию), а плотность пара найдём через относительную влажность: $$\varphi = \frac{\rho}{\rho_\text{нас}} \cdot 100 \%$$ откуда $$\rho = \frac{\varphi}{100} \cdot \rho_\text{нас}, \quad m = \frac{\varphi}{100} \cdot \rho_\text{нас} \cdot V$$

Для двух температур: $$m_1 = \frac{\varphi_1}{100} \cdot \rho_{\text{нас}1} \cdot V, \qquad m_2 = \frac{\varphi_2}{100} \cdot \rho_{\text{нас}2} \cdot V$$

Если пар конденсируется, то остаётся насыщенным ($\varphi_2 = 100\%$) при новой температуре.

Из таблицы: $$\rho_{\text{нас}1} = \rho_{\text{нас}}(24^\circ\text{C}) = 2{,}18 \cdot 10^{-2}\ \text{кг/м}^3 = 21{,}8~\text{г/м}^3$$ $$\rho_{\text{нас}2} = \rho_{\text{нас}}(16^\circ\text{C}) = 1{,}36 \cdot 10^{-2}\ \text{кг/м}^3 = 13{,}6~\text{г/м}^3$$

Итог: $$\Delta m = m_1 - m_2 = \frac{\varphi_1 \cdot \rho_{\text{нас}1} - \varphi_2 \cdot \rho_{\text{нас}2}}{100}V$$ $$\Delta m = \frac{0{,}8 \cdot 21{,}8 - 1 \cdot 13{,}6}{1} \cdot 1= 17{,}44 - 13{,}6 = 3{,}84 \approx 4~\text{г}$$

Ответ: $\Delta m \approx 4~\text{г}$

Давление насыщенного пара при $100^\circ\text{C}$ соответствует атмосферному давлению: $p_\text{нс} = 100~\text{kPa}$. По условию задачи в сосуде пар имеет $p_1 = 25~\text{кПа}$, то есть он не насыщен.

Допустим, при сжатии в 8 раз пар остаётся ненасыщенным, тогда применим уравнение изотермического процесса: $$p_1 V_1 = p_2 V_2$$ где $V_2 = V_1 / 8$. Следовательно, $$p_2 = \frac{p_1 V_1}{V_2} = \frac{p_1 V_1}{V_1/8} = 8 p_1 = 200~\text{кПа}$$

Но это давление превышает давление насыщенного пара при $100^\circ\text{C}$, поэтому реальная ситуация — пар становится насыщенным, и его давление будет $p_2 = p_\text{нс} = 100~\text{кПа}$.

Запишем уравнения Менделеева–Клапейрона для двух состояний: $$p_1 V_1 = \frac{m_1}{M} R T, \quad p_2 V_2 = \frac{m_2}{M} R T$$

Рассмотрим отношение: $$\frac{p_2 V_2}{p_1 V_1} = \frac{m_2}{m_1}$$ Подставляем значения: $$V_2 = \frac{V_1}{8}; \quad m_1 = 10~\text{г},\quad p_1 = 25~\text{кПа}, \quad p_2 = 100~\text{кПа}$$ $$m_2 = \frac{p_2 V_2}{p_1 V_1} m_1 = \frac{p_2 \cdot \frac{V_1}{8}}{p_1 V_1} \, m_1 = \frac{p_2 m_1}{8 p_1}$$

$$m_2 = \frac{100 \times 10}{8 \times 25} = \frac{1000}{200} = 5~\text{г}$$

Ответ: $m_2 = 5~\text{г}$

При изобарном процессе часть теплоты, сообщённой газу, превращается во внутреннюю энергию, оставшаяся часть — в работу. Работа при изобарном нагревании выражается через изменение внутренней энергии:

$$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T,$$ $$A = P \Delta V.$$

Из уравнения Менделеева–Клапейрона $(PV = \nu RT)$ при постоянном давлении: $$P \Delta V = \nu R \Delta T.$$ $$A = \frac{2}{3}\Delta U.$$ $$A = \frac{2}{3}\cdot 300 = 200\ \text{Дж}.$$

Ответ: $A = 200\ \text{Дж}.$