МКТ и Термодинамика

Средняя кинетическая энергия молекул для одноатомного газа пропорциональна абсолютной температуре: $$E_{\text{к}} = \frac{3}{2} k T$$ где $T$ — температура, $k$ — постоянная Больцмана.

Из условия $E_{\text{к2}} = 3 E_{\text{к1}}$, а температура изменилась на $400~\text{K}$: $$T_2 = T_1 + 400$$ $$\frac{3}{2} k T_2 = 3 \cdot \frac{3}{2} k T_1$$ $$T_2 = 3 T_1$$ Поскольку $T_2 = T_1 + 400$: $$T_1 + 400 = 3 T_1$$ $$400 = 2 T_1 \implies T_1 = 200~\text{K}$$ $$T_2 = T_1 + 400 = 200 + 400 = 600~\text{K}$$

Ответ: $T_2 = 600~\text{K}$

Так как объём неизменен, используем изохорный процесс и закон Бойля-Мариотта: $$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$$ Пусть начальная температура — $T_1$, конечная $T_2 = T_1 + 200$, давление увеличилось в 1{,}5 раза ($p_2 = 1{,}5 p_1$).

$$\frac{p_1}{T_1} = \frac{1.5 p_1}{T_1 + 200}$$ $$\frac{1}{T_1} = \frac{1.5}{T_1 + 200}$$ $$T_1 + 200 = 1.5 T_1$$ $$200 = 0.5 T_1 \implies T_1 = 400~\text{K}$$

Ответ: $T_1 = 400~\text{K}$

Давление воздуха $p$, температура $T$ и масса $m$ связаны уравнением Менделеева—Клапейрона: $$pV = \nu RT = \frac{m}{M} RT$$ $$m = \frac{p V M}{R T} \tag{1}$$

Запишем это выражение для воздуха при двух температурах $T_1$ и $T_2$: $$m_1 = \frac{p_1 V M}{R T_1}, \qquad m_2 = \frac{p_2 V M}{R T_2}$$ Тогда отношение масс: $$\frac{m_2}{m_1} = \frac{p_2}{p_1} \cdot \frac{T_1}{T_2}$$

По условию $T_1 = 2.4 T_2$, давление $p_1 = 1.6p_2$:

$$\frac{m_2}{m_1} = \frac{p_2}{1.6 p_2} \cdot \frac{2.4 T_2}{T_2} = \frac{1}{1.6} \cdot 2.4 = \frac{2.4}{1.6} = 1.5$$ Ответ: $1.5$

Уравнение Клапейрона–Менделеева: $$pV = \frac{mRT}{M}$$ Масса газа связана с плотностью $m = \rho V$, откуда можно выразить другие параметры газа. $$\rho = \frac{p M}{R T}$$ $p = 200\,000~\text{Па}$, $T = 273+17 = 290~\text{K}$, $R=8.314~\text{Дж/(кг\,K)}$, $M=0.029~\text{(кг/моль)}$ $$\rho = \frac{200\,000 \times 0.029}{8.314 \times 290} \approx \frac{20}{8.314} \approx 2.4~\text{кг/м}^3$$ Ответ: $\rho \approx 2.4~\text{кг/м}^3$

Из закона состояния: $pV = \nu R T$. Масса $m = 0.32~\text{кг}$, $M = 20~\text{г/моль}$, значит $\nu = \frac{m}{M} = 0.32 / 0.02 = 16~\text{моль}$.
Возьмём одну точку с графика: при $T=360~\text{K}$, $p=2.4 \cdot 10^5~\text{Па}$: $$V = \frac{\nu R T}{p} = \frac{16 \cdot 8.31 \cdot 360}{240\,000} \approx 0.2~\text{м}^3$$ Ответ: $V\approx 0.2~\text{м}^3$