Расчетная задача. Механика и МКТ

Определим сначала величину ускорения шайбы, используя так называемую формулу для пути без времени:

$$l=\frac{v_{0}^{2}-v^{2}}{2a},\quad v_{0}=0 \Leftrightarrow a=\frac{-v^{2}}{2l}=\frac{-(4\ \text{м/с})^{2}}{2\cdot 1\ \text{м}}=-8\ \text{м/с}^{2}.$$ Знак минус у ускорения возник, так как тело тормозит и ускорение направлено вниз по склону, чтобы, чтобы не запутаться, будем в следующих формулах считать, что $a=8\ \text{м/с}^{2}>0$, а знак минус учитывать при проецировании уравнений.

Второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вниз вдоль плоскости: $mg\sin\alpha+F_{тр} = ma$. Отсюда для силы трения имеем:

$$F_{тр}=ma-mg\sin\alpha$$

$$=0{,}1\ \text{кг}\cdot 8\ \text{м/с}^{2}-0{,}1\ \text{кг}\cdot 10\ \text{м/с}^{2}\cdot \sin 30^\circ =0{,}3\ \text{Н}.$$

Ответ: $0{,}3$ Н.

Запишем теорему о кинетической энергии: $E_{k2}-E_{k1}=A_{сопр}$, где начальная кинетическая энергия $E_{k1}=\frac{mv_1^2}{2}$, конечная кинетическая энергия $E_{k2}=\frac{mv_2^2}{2}$, работа силы сопротивления $A=F_{сопр}s\cos\alpha$. Перемещение пули в доске равно ее толщине $s=d$, угол между направлением вектора силы сопротивления и вектором перемещения $180^\circ$, поэтому $\cos\alpha=-1$.

Тогда получаем:

$$-F_{сопр}d=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}$$

Таким образом, сила сопротивления доски равна:

$$F_{сопр}=\frac{m(v_1^2-v_2^2)}{2d}=\frac{0,01\ \text{кг}\cdot((200\ \text{м/с})^2-(100\ \text{м/с})^2)}{2\cdot0,02\ \text{м}}=7500\ \text{Н}.$$

Ответ: $7500$ Н.

Поскольку на систему в горизонтальном направлении не действует никаких внешних сил, для системы папа+девочка выполняется закон сохранения импульса в этом направлении: $(m_{д}+m_{n})u=m_{д}v_{1}+m_{n}v$.

Решая это уравнение, находим скорость папы после толчка: $$u=\frac{(m_{д}+m_{n})v-m_{д}v_{2}}{m_{n}} =\frac{(20\ \text{кг}+80\ \text{кг})\cdot 4\ \text{м/с}-20\ \text{кг}\cdot 6\ \text{м/с}}{80\ \text{кг}} =3{,}5\ \text{м/с}.$$

Ответ: $3{,}5$ м/с.

Поскольку на систему в горизонтальном направлении не действует никаких внешних сил, для системы папа+девочка выполняется закон сохранения импульса в этом направлении: $(m_{д}+m_{п})u=m_{д}v_{2}+m_{п}u_{2}$.

Решая это уравнение, находим скорость девочки после толчка:

$$v_{д}=\frac{(m_{д}+m_{п})v-m_{п}u}{m_{д}} =\frac{(20\ \text{кг}+80\ \text{кг})\cdot 4\ \text{м/с}-80\ \text{кг}\cdot 3{,}5\ \text{м/с}}{20\ \text{кг}} =6\ \text{м/с}.$$

Ответ: 6 м/с.

Будем отсчитывать потенциальную энергию от уровня пола. В начальный момент времени шарик обладает только потенциальной энергией $E= mgh$. Во время падения выполняется закон сохранения энергии, поэтому к моменту удара шарика о пол, вся потенциальная энергия переходит в кинетическую. Таким образом, сразу после удара кинетическая энергия шарика становится равной $0,8mgh$.

После удара шарик летит по параболе, при этом $0,8mgh=\frac{mv_{0}^{2}}{2}$, откуда начальная скорость шарика равна $v_{0}=\sqrt{1,6gh}$. Проекция начальной скорости на вертикальную ось равна: $v_{0y}=v_{0}\sin60^\circ$. Учитывая, что в верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости равна $0$, получаем: $v_y(t)=v_{0y}-gt=0$, следовательно, максимальная высота, на которую поднимется шарик, равна:

$$H=\frac{v_{0y}^{2}}{2g}=\frac{1,6gh\sin^{2}60^\circ}{2g}=0,8h\sin^{2}60^\circ=1,2\ \text{м}.$$

Ответ: $1,2$ м.