Расчетная задача. Механика и МКТ

Применяем закон сохранения импульса: $$\sum \vec{p}_{\text{до}} = \sum \vec{p}_{\text{после}}$$ До прыжка система движется с общей скоростью, после — каждый со своей: $$(m_1 + m_2)v_0 = m_1 v_1 + m_2 v_2$$ $$(50+10) \cdot 1.5 = 50 \cdot (-1) + 10 v_2$$ $$90 = -50 + 10 v_2 \implies 10v_2 = 140 \implies v_2 = 14~\text{м}/\text{с}$$

Ответ: $14~\text{м}/\text{с}$

Для рассмотрения системы используем закон сохранения импульса по горизонтали: $$m_k \cdot v_{\text{кх}} + M \cdot 0 = (M + m_k) \cdot V$$ где $v_{\text{кх}} = v \sin \alpha$ — горизонтальная составляющая скорости камня: $$v_{\text{кх}} = 12 \cdot \sin 30^\circ = 6~\text{м}/\text{с}$$ $$10 \cdot 6 = (50 + 10)V \implies 60 = 60V \implies V = 1~\text{м}/\text{с}$$

Ответ: $ V = 1 м/с$

Применяем сохранение импульса: $$m v_0 \cos\alpha = (m + M) V$$ И формулу для кинетической энергии: $$E_k = \frac{1}{2}(m+M)V^2$$ Находим $V$ через $E_k$: $$V = \sqrt{\frac{2 E_k}{m + M}} = \sqrt{\frac{4.5}{18}} = 0.5~\text{м}/\text{с}$$ Подставляем в закон импульса: $$3 v_0 \cdot 0.5 = 18 \cdot 0.5 \implies 1.5 v_0 = 9 \implies v_0 = 6~\text{м}/\text{с}$$

Ответ: $v_0 = 6~\text{м}/\text{с}$

Скорости осколков ядра после деления зависят от закона сохранения импульса, так как до деления ядро покоилось, и суммарный импульс оставался нулевым: $$\vec{p}_0 = 0, \qquad \vec{p} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 + m_3\vec{v}_3$$ Поскольку внешние силы отсутствуют (гравитацией можно пренебречь), записываем: $$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 + m_3\vec{v}_3 = 0 \tag{1}$$

Направим ось OX вдоль скорости первого осколка, а ось OZ – вдоль второго (так как угол между $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ составляет 90$^\circ$).

Поскольку скорости не лежат на одной прямой, для определения скорости третьего осколка нужно использовать двухмерную систему координат: $$v_3 = \sqrt{v_{3x}^2 + v_{3z}^2} \tag{2}$$

Распишем (1) по координатам: по OX: $$0 = m_1 v_1 + m_3 v_{3x} \implies v_{3x} = -\frac{m_1 v_1}{m_3}$$

по OZ: $$0 = m_2 v_2 + m_3 v_{3z} \implies v_{3z} = -\frac{m_2 v_2}{m_3}$$

Подставляем значения из условия: $m_1 = 1.5\,\text{кг}$, $m_2 = 1.5\,\text{кг}$, $m_3 = 5\,\text{кг}$, $v_1 = 2v$, $v_2 = 4v$: $$v_{3x} = -\frac{1.5 \cdot 2v}{5} = -\frac{3v}{5}$$ $$v_{3z} = -\frac{1.5\cdot 4v}{5} = -\frac{6v}{5}$$

Используем формулу (2):

$$v_3 = \sqrt{\left(-\frac{3v}{5}\right)^2 + \left(-\frac{6v}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9v^2}{25} + \frac{36v^2}{25}} = \sqrt{\frac{45v^2}{25}} = 1.34v$$

Соотношение: $$\frac{v_1}{v_3} = \frac{2v}{1.34v} = 1,5$$ Ответ: 1,5

Скорость снаряда изменяется при взрыве. До взрыва движется только снаряд. После взрыва осколки снаряда движутся отдельно друг от друга.

Начальный и конечный импульсы системы тел (осколки снаряда) равны соответственно: $$\vec{p}_0 = (m_1 + m_2) \cdot \vec{v}_0, \qquad \vec{p} = m_1 \cdot \vec{v}_1 + m_2 \cdot \vec{v}_2$$

Поскольку при взрыве внешние силы отсутствуют (по сравнению с силами взрыва можно пренебречь), в системе внешними силами также можно пренебречь. Запишем закон сохранения импульса системы тел: $$\vec{p}_0 = \vec{p}, \quad (m_1 + m_2) \cdot \vec{v}_0 = m_1 \cdot \vec{v}_1 + m_2 \cdot \vec{v}_2 \tag{1}$$

Из уравнения (1) получаем, что: $$m_2 \cdot \vec{v}_2 = (m_1 + m_2) \cdot \vec{v}_0 - m_1 \cdot \vec{v}_1$$

Построим треугольник импульсов по данному уравнению. Получили прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это импульс $m_2 v_2$, а катеты — импульсы $m_1 v_1$ и $(m_1 + m_2)v_0$. Тогда из прямоугольного треугольника получаем: $$\sin \alpha = \frac{m_1 \cdot v_1}{m_2 \cdot v_2}, \quad \frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2 \cdot \sin \alpha}{v_1}, \quad \frac{m_1}{m_2} = 2$$ Ответ: 2.