Расчетная задача. Механика и МКТ

Закон сохранения импульса: $$m_p v_0 = m_p v_1 + m_\text{б} v_\text{б}$$ $$m_p \cdot 500 = m_p \cdot 300 + 0.1 \cdot 5$$ $$500 m_p - 300 m_p = 0.5 \implies 200 m_p = 0.5 \implies m_p = 0.0025~\text{кг}$$

Ответ: $m_p = 0.0025~\text{кг}$

$$P_2=(m_1+m_2)\,v_2$$

$$E_{\text{к}}=\frac{(m_1+m_2)\,v_2^{\,2}}{2} \qquad\Longrightarrow\qquad v_2=\sqrt{\frac{2\,E_{\text{к}}}{\,m_1+m_2\,}}$$ Закон сохранения импульса: P1=P2

$$P_1=P_2=(m_1+m_2)\,\sqrt{\frac{2\,E_{\text{к}}}{\,m_1+m_2\,}}$$ так как брусок до удара лежал на столе.

$$P_1=(0{,}05+0{,}45)\,\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}25}{\,0{,}05+0{,}45\,}} =0{,}5\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.$$ Ответ: $P_1=0{,}5\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.$

Перед решением задачи разберемся с движением тела по вертикальной оси $Oy$. Пусть ось направленна вертикально вверх, тогда проекция начально скорости на эту ось будет равна $v_{0y}=v_0\sin{\alpha}$, а проекция ускорения $g_y=-g$ и движение по оси $Oy$ являеться равноускоренным, тогда скорость по этой оси в любой момент времени можно найти по формуле $v_y=v_0\sin{\alpha}-gt$, а высоту по формуле $h=v_0t\sin{\alpha}-\frac{gt^2}{2}$.
Скорость камня становиться горизонтально в нивысшей точки траектории т.е когда $v_y=0$, решим это уравнение: $$v_0\sin{\alpha}-gt=0\Rightarrow v_0\sin{\alpha}=gt$$ Тогда макисмальнеая высот вычисляеться по формуле: $$H=gt^2-\frac{gt^2}{2}=\frac{gt^2}{2}$$ Тогда найдём искомое время $$t=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot5}{10}}=1\,\text{c}$$

Ответ: $t=1\,\text{c}$

Для решения задачи запишем закон сохранения импульса: $$m_1\vec{v}+m_2\vec{v}=(m_1+m_2)\vec{u}$$ Гду $u$ – скорость движение шариков после неупругого взаимодействия. Причём так как модуль импульса первого шарика больше чем второго, поэтому шарики продолжат движение в направлении скорости первого шара.
В проекции на горизонтальную ось закон сохранения импульса имеет вид: $$m_1v-m_2v=(m_1+m_2)u\Rightarrow u=\frac{(m_1-m_2)v}{m_1+m_2}=\frac{7\cdot(0.5-0.3)}{0.5+0.3}=1.75\,\text{м/с}$$

Ответ: $u=1.75\,\text{м/с}$

Для решения задачи запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось, так как вдоль этой оси на тележку и мальчика не действуют силы:
$$(M+m)v_0=Mv-mu$$ Где $M$— масса тележки, $m$— масса мальчика, $v_0$— проекция начальной скорости тележки, $v$ и $u$ — проекции скоростей тележки относительно земли после прыжка, $u$ — проекции скоростей мальчика относительно земли после прыжка.
Тогда выразим искомую скорости тележки $v$: $$v=\frac{(M+m)v_0+mu}{M}=\frac{(50+50)\cdot1+50\cdot2}{50}=4\,\text{м/с}$$

Ответ: $v=4\,\text{м/с}$