Расчетная задача. Механика и МКТ

Для начала стоит заметить, что так как промежуток времени столкновения мал, то систему "пуля + шарик" можно считать замкнутой, следовательно применим закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:
$$mv=(M+m)u\Rightarrow M=\frac{mv-mu}{u}=m\left(\frac{v}{u}-1\right)$$ Где $M$— масса шарика, $m$— масса пули, $u$— скорость системы "пуля + шарик" после взаимодействия.
Теперь применим закон сохранения энергии.Будем считать начальное положение шарика нулевым уровнем высоты. В начальный момент времени система "пуля + шарик" обладают только кинетической энергий $E_\text{к}=\frac{(M+m)u^2}{2}$. На максимальной высоте скорость системы будет равна нулю, значит пуля и шарик обладают только потенциальной энергией $E_\text{п}=(M+m)gh$. Таким образом закон сохранения энергии имеет вид:
$$\frac{(M+m)u^2}{2}=(M+m)gh\Rightarrow\frac{u^2}{2}=gh\Rightarrow u=\sqrt{2gh}$$ Подставим значение скорости в формулу для массы шарика:
$$M=m\left(\frac{v}{\sqrt{2gh}}-1\right)=10\cdot10^{-3}\left(\frac{100}{\sqrt{2\cdot10\cdot0.2}}-1\right)=0.49\,\text{кг}$$

Ответ: $M=0.49\,\text{кг}$

Перед решением задачи изобразим на рисунке силы, действующие на бруски:

Так же стоит заметить, что так как нить нерастяжима то усокрения обоих брусков равны $a$. И так как нить невисома, то $T_1+T_2=T$.
Запишем второй закон Ньютона для каждого бруска в проекции на горизонтальную ось: $$F-T=Ma\Rightarrow M=\frac{F-T}{a}$$ $$T=ma\Rightarrow a=\frac{T}{m}$$ Таким образм получаем:
$$M=\frac{F-T}{a}=\frac{m(F-T)}{T}=\frac{0.1\cdot(9-3)}{3}=0.2\,\text{кг}$$ Ответ: $ M=0.2,кг$

Для начала рассмотрим движение бруска по наклонной плоскости, а именно так как работы силы реакции опоры равна 0 и отсутствует сила трения, то применим закон сохранения энергии:
$$Mgh=\frac{Mv^2}{2}\Rightarrow gh=\frac{v^2}{2}\Rightarrow v=\sqrt{2gh}$$ Где $v$– скорость бруска у подножия наклонной плоскости. Так как время взимодействия бруско мало, то можем считать систему замкнутой, следовательно приме6ним закон сохранения импульса:
$$Mv=(m+M)u$$ Откуда выразим искомую скорость бруска после соударения $u$: $$u=\frac{Mv}{(m+M)}=\frac{M\sqrt{2gh}}{(m+M)}=\frac{0.25\sqrt{2\cdot10\cdot0.2}}{0.25+0.15}=1.25\,\text{м/с}$$ Ответ: $u=1.25\,\text{м/с}$

Для начала заметим, что на доску в обоих случаях действую сила тяжести доски, приложенная к ее середине и вес груза:

Для решения задачи запишем правило моментов для каждого случая относительно точки опоры — края стола.
В первом случае плечо силы тяжести доски составит $\frac{l}{2}-\frac{l}{4}=\frac{l}{4}$. Тогда для первого случая:
$$Mg\frac{l}{4}=m_1g\frac{l}{4}\Rightarrow M=m_1=0.25\,\text{кг}$$ Во втором случае плечо силы тяжести доски составит $\frac{l}{2}-\frac{l}{3}=\frac{l}{6}$. Тогда для второго случая:
$$Mg\frac{l}{6}=m_2g\frac{l}{3}\Rightarrow \frac{M}{6}=\frac{m_2}{3}\Rightarrow m_2=\frac{M}{2}=\frac{0.25}{2}=0.125\,\text{кг}$$ Ответ: $m_2=0.125\,\text{кг}$

Для решения задачи стоит разобраться с движением теда по каждой оси. По вертикальной оси Oy тело будет двигаться равноускоренно с ускорением $-g$, по горизонтальной оси Ox тело будет двигаться равномерно, так как проекция ускорения равна нулю.
Тогда движение тело по оси Oy описывается уравнением: $$h=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2}$$ И в момент падения тела: $$h=v_{0y}t_\text{пол}-\frac{gt_\text{пол}^2}{2}=0\Rightarrow t_\text{пол}=\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2v_0\sin{\alpha}}{g}$$ Где $t_\text{пол}$ – время полёта тела.
Зависимость проекции скорости тела на ось Oy от времени имеет вид $v_y(t)=v_0y-gt$. И на максимальной высоте подъёма тела проекция скорости вдоль оси Oy равна нулю, т.е. $v_y(t_\text{под})=v_{0y}-gt_\text{под}=v_0\sin{\alpha}-gt_\text{под}=0$. Откуда время подъёма тела до максимальной точки $t_\text{под}$: $$t_\text{под}=\frac{v_0\sin{\alpha}}{g}$$ И в этом случае максимальная высота подъёма будет равна: $$h_{max}=h(t_\text{под})=v_0\sin{\alpha} \cdot\frac{v_0\sin{\alpha}}{g}-\frac{g}{2}\cdot\left(\frac{v_0\sin{\alpha}}{g}\right)^2=\frac{v_0^2\sin^2{\alpha}}{2g}$$ Для движения вдоль оси Ox справедливо уравнение: $$L=v_{0x}t$$ И в момент падения тела: $$L=v_{0x}t_\text{пол}=v_0\cos{\alpha}\cdot t_\text{пол}=\frac{2v_0^2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{g}\Rightarrow v_0^2=\frac{Lg}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}$$ Подставим эту формулу в выражение для максимальной высоты полёта тела: $$h_{max}=\frac{v_0^2\sin^2{\alpha}}{2g}=\frac{\sin^2{\alpha}}{2g}\cdot \frac{Lg}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}=\frac{L\tan{\alpha}}{4}=\frac{20\cdot\tan{45^\circ}}{4}=5\,\text{м}$$

Ответ: $h_{max}=5\,\text{м}$