Молекулярная физика

Согласно первому началу термодинамики $Q=\Delta U+A$, где изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа в процессе $\Delta U=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)=\frac{3}{2}(\nu RT_2-p_1V_1)$. Работа газа в данном процессе равна площади трапеции: $A=\frac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1)$. Согласно уравнению состояния идеального газа, то есть уравнению Клапейрона — Менделеева, неизвестное давление $p_2=\frac{\nu RT_2}{V_2}=\frac{1*8,31*500}{41,6*10^{-3}}\approx 10^5\ \text{Па}$. Таким образом:

$$\Delta U=\frac{3}{2}\left(\nu RT_2-p_1V_1\right)=1{,}5\cdot\left(1\cdot 8{,}31\cdot 500-4{,}15\cdot 10^5\cdot 10^{-2}\right)=7{,}5\ \text{Дж},$$

$$A=\frac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1)=\frac{4{,}15+1}{2}\cdot\left(41{,}6-10\right)\cdot 10^2=8137\ \text{Дж},$$

и окончательно получаем: $Q=\Delta U+A\approx 7{,}5+8137\approx 8145\ \text{Дж}$.

Ответ: $Q\approx 8145\ \text{Дж}$.

При изобарном расширении на участке 1–2 газ получает от нагревателя количество теплоты $Q_{12}$, а на участке 3–4 отдает холодильнику в изохорном процессе количество теплоты $Q_{34}$. На других участках теплообмен отсутствует. В соответствии с первым началом термодинамики работа газа за цикл $A$ равна разности количества теплоты, полученной от нагревателя и отданной холодильнику, а КПД теплового двигателя: $$\eta=\frac{A}{Q_{12}}=1-\frac{Q_{34}}{Q_{12}}.$$

Количество теплоты $Q_{12}$, полученное при изобарном расширении на участке 1–2, равно сумме увеличения внутренней энергии газа при увеличении его температуры и работы газа на этом участке: $Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}$. Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна абсолютной температуре, и для 1 моль одноатомного газа $U=\frac{3}{2}\nu RT$, а ее изменение: $$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)=\frac{3}{2}\nu R\Delta T_{12}.$$ Работа газа при изобарном расширении $A_{12}=p_1(V_2-V_1)$. Выражая ее через изменение температуры с помощью уравнения Клапейрона — Менделеева $pV=\nu RT$, получаем: $$A_{12}=p_1(V_2-V_1)=\nu R\Delta T_{12}.$$ Отсюда: $$Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=\frac{5}{2}\nu R\Delta T_{12}.$$ Отдаваемое количество теплоты $Q_{34}$ при изохорном охлаждении на участке 3–4 равно уменьшению внутренней энергии газа в этом процессе: $$Q_{34}=|\Delta U_{34}|=\frac{3}{2}\nu R|\Delta T_{34}|.$$ В итоге получаем: $$\eta=1-\frac{Q_{34}}{Q_{12}}=1-\frac{3|\Delta T_{34}|}{5\Delta T_{12}}.$$ Отсюда находим: $$\frac{\Delta T_{12}}{|\Delta T_{34}|}=\frac{3}{5(1-\eta)}=\frac{3}{5\cdot 0{,}5}=1{,}2.$$

Ответ: 1,2.

В процессе 2–3 происходит изохорное нагревание газа. Работа газа равна нулю, и согласно первому началу термодинамики, переданное газу тепло в таком процессе идет только на изменение его внутренней энергии.

$$Q=\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T.$$

При постоянном объеме для идеального газа выполняется закон Шарля, согласно которому $\frac{p}{T}=\text{const}$. Давление на участке 2–3 увеличилось в 3 раза, а значит, и температура увеличилась в 3 раза и стала равной $900\ \text{K}$. Найдем количество теплоты, которое получило газ:

$$Q=\frac{3}{2}\nu R\Delta T=\frac{3}{2}\cdot 1\cdot 8{,}31\cdot 600\approx 7480\ \text{Дж}.$$

Ответ: $Q\approx 7480\ \text{Дж}$.

Состояние идеального газа описывается уравнение Менделеева — Клапейрона $pV=\frac{mRT}{M}$. При кипении масса пара увеличивается, температура пара равна температуре кипения и остается постоянной пока весь ацетон не выкипит, давление по условию также постоянно. Значит, выполняется соотношение $p \Delta V=\frac{RT\Delta m}{M}$.

$$\frac{p\,\Delta V}{\Delta m}=\frac{RT}{M}.$$

При передаче газу теплоты $Q$ испаряется $\Delta m=\frac{Q}{L}$ ацетона. Найдем работу, которую совершает пар: $$A=pV=\frac{RT\Delta m}{M}=\frac{RTQ}{ML}=\frac{8{,}31\cdot 329}{58\cdot 10^{-3}\cdot 524\cdot 10^3}\,Q\approx 0{,}09Q.$$

Таким образом, в работу превращается $9\%$ подводимой к ацетону энергии.

Ответ: $9\%$.

1. Работа газа за весь цикл равна, согласно первому началу термодинамики, $Q=A+\Delta U$, причем, в замкнутом цикле начальная и конечная температуры совпадают, поэтому за цикл $\Delta U=0$.

2. Газ получает теплоту на изохоре $1$–$2$ в количестве: $$Q_{12}=C_V(T_2-T_1)$$ и отдает ее на изохоре $3$–$4$ в количестве: $$Q_{34}=C_V(T_4-T_3),$$ где $C_V$ — теплоемкость данного количества газа при постоянном объеме.

3. Работа газа за цикл, таким образом, равна: $$A=C_V(T_2-T_1+T_4-T_3).$$

4. КПД равен отношению работы к полученной теплоте: $$\eta=\frac{A}{Q_{12}}=\frac{T_2-T_1+T_4-T_3}{T_2-T_1}=1-\frac{T_3-T_4}{T_2-T_1}.$$

5. Поскольку по условию $T_2=nT_3$ и $T_1=nT_4$, то: $$\eta=1-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}=0{,}5=50\%.$$

Ответ: $50\%$.