Молекулярная физика

Для решения задачи разберёмся, какие силы действуют на шар, а именно это сила Архимеда $F_A=\rho_0gV$, направленная вверх, сила тяжести действующая на воздух внутри шара $F_\text{т.0}=m_0g$ и направленная вниз, и сила тяжести действующая на оболочку и груз $F_\text{т.груз.}=(m+M)g$, так же направленная вниз. Тогда по второму закону Ньютона в проекции на вертикальную ось:
$$F_A=mg+Mg+m_0g$$ Таким образом условие подъёма шара имеет вид:
$$F_A\geq mg+Mg+m_0g$$ Далее представим $m_0=\rho V$, где $\rho$ – плотность воздуха внутри оболочки, тогда получим неравенство:
$$\rho_0V\geq m+M+\rho V \tag{1}$$ Далее запишем уравнение Менделеева-Клапейрона и преобразуем его:
$$pV=\frac{m}{\mu}RT\Rightarrow p=\frac{\rho}{\mu}RT$$ Тогда теперь запишем его для воздуха снаружи шара и внутри него:
$$p=\frac{\rho_0}{\mu}RT_0 \quad\quad p=\frac{\rho}{\mu}RT$$ $$\Downarrow$$ $$\rho=\frac{T_0}{T}\rho_0$$ Подставим получившееся выражение в неравенство (1) и получим:
$$\rho_0V\geq m+M+\frac{T_0}{T}\rho_0 V$$ Откуда можем выразить искомый минимальный объём шара:
$$V = \frac{(m + M) T}{\rho_0 (T - T_0)} = \frac{(400 + 200) \cdot 348}{1.2 \cdot (348 - 273)} \approx 2320~\text{м}^3.$$

Ответ: $V \approx 2320~\text{м}^3.$

Для решения задачи разберёмся, какие силы действуют на шар, а именно это сила Архимеда $F_A=\rho_0gV$, направленная вверх, сила тяжести действующая на воздух внутри шара $F_\text{т.0}=m_0g$ и направленная вниз, и сила тяжести действующая на оболочку $F_\text{т.об.}=Mg$, так же направленная вниз. Тогда по второму закону Ньютона в проекции на вертикальную ось:
$$F_A=Mg+m_0g$$ Таким образом условие подъёма шара имеет вид:
$$F_A\geq Mg+m_0g$$ Далее представим $m_0=\rho V$, где $\rho$ – плотность воздуха внутри оболочки, тогда получим неравенство:
$$\rho_0V\geq M+\rho V \tag{1}$$ Далее запишем уравнение Менделеева-Клапейрона и преобразуем его:
$$pV=\frac{m}{\mu}RT\Rightarrow p=\frac{\rho}{\mu}RT\Rightarrow \rho=\frac{p\mu}{RT}$$ Тогда теперь запишем выражение для плотности воздуха снаружи шара и внутри него:
$$\rho_0=\frac{p\mu}{RT_0} \quad\quad \rho=\frac{p\mu}{RT}$$ Подставим получившееся выражение в неравенство (1) и получим:
$$\frac{p\mu V}{RT_0}\geq M+\frac{p\mu V}{RT}$$ Откуда можем выразить искомую массу оболочки:
$$M=\frac{p\mu V(T-T_0)}{RTT_0} = \frac{10^5\cdot230\cdot29\cdot10^{-3}\cdot265}{8.31\cdot273\cdot538} \approx 145~\text{кг}.$$ Ответ: $M \approx 145~\text{кг}.$

Для решения задачи заметим, что сосуд по условию теплоизолирован, а значит можем применить закон сохранения энергии $U=U_1+U_2$, внутренняя энергия гелия в первом сосуде равна $U_1=\frac{3}{2}\nu_1 RT_1$, внутренняя энергия неона во втором сосуде равна $U_2=\frac{3}{2}\nu_2 RT_2$, а внутренняя энергия смеси после открытия крана и установления равновесного состояния при температуре $T$ равна $U=\frac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT$, тогда получим: $$U=U_1+U_2\Rightarrow \frac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT=\frac{3}{2}\nu_1 RT_1+\frac{3}{2}\nu_2 RT_2 \Rightarrow T=\frac{\nu_1T_1+\nu_2T_2}{\nu_1+\nu_2}$$ Далее запишем уравнение Менделеева-Клапейрон для каждого газа после установления равновесного состояния, т.е. когда газы займут оба сосуда объемом $2V$:
$$2p_1V=\nu_1RT \quad\quad 2p_2V=\nu_2RT$$ $$\Downarrow$$ $$p_1=\frac{\nu_1RT}{2V} \quad\quad p_2=\frac{\nu_2RT}{2V}$$ Теперь можем применить закон Дальтона, согласно которому давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений $p=p_1+p_2$, тогда получим: $$p=p_1+p_2=\frac{(\nu_1+\nu_2)RT}{2V}=\frac{(\nu_1T_1+\nu_2T_2)R}{2V}=\frac{(1\cdot450+3\cdot300)\cdot 8.31}{2\cdot1}=5609.25\,\text{Па}$$

Ответ: $p = 5609.25\,\text{Па}$

Для решения задачи заметим, что сосуд по условию теплоизолирован, а значит можем применить закон сохранения энергии $U=U_1+U_2$, внутренняя энергия гелия в первом сосуде равна $U_1=\frac{3}{2}\nu_1 RT_1$, внутренняя энергия аргона во втором сосуде равна $U_2=\frac{3}{2}\nu_2 RT_2$, а внутренняя энергия смеси после открытия крана и установления равновесного состояния при температуре $T$ равна $U=\frac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT$, тогда получим: $$U=U_1+U_2\Rightarrow \frac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT=\frac{3}{2}\nu_1 RT_1+\frac{3}{2}\nu_2 RT_2 \Rightarrow T=\frac{\nu_1T_1+\nu_2T_2}{\nu_1+\nu_2}$$ Далее запишем уравнение Менделеева-Клапейрон для каждого газа после установления равновесного состояния, т.е. когда газы займут оба сосуда объемом $2V$:
$$2p_1V=\nu_1RT \quad\quad 2p_2V=\nu_2RT$$ $$\Downarrow$$ $$p_1=\frac{\nu_1RT}{2V} \quad\quad p_2=\frac{\nu_2RT}{2V}$$ Теперь можем применить закон Дальтона, согласно которому давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений $p=p_1+p_2$, тогда получим: $$p=p_1+p_2=\frac{(\nu_1+\nu_2)RT}{2V}=\frac{(\nu_1T_1+\nu_2T_2)R}{2V}\Rightarrow V=\frac{(\nu_1T_1+\nu_2T_2)R}{2p}=\frac{(2\cdot400+3\cdot300)\cdot 8.31}{2\cdot5.4\cdot10^3}\approx1.3\,\text{м}^3$$

Ответ: $p \approx1.3\,\text{м}^3$

Перед решением задачи введём некоторое обозначение, пусть наименьшая температура будет обозначена за $T_0$, тогда из графика получим: $$T_1=T_0 \quad\quad T_2=3T_0 \quad\quad T_3=6T_0 \quad\quad T_4=2T_0$$ Оба интересующих нас процесса, 4-1 и 2-3, являются изобарными, тогда работу газа в каждом из них можно найти по формуле $A=\nu R\Delta T$, а измение внутреннее энергии $\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T$, тогда по первому началу термодинамики количество теплоты можно найти по формуле: $$Q=\Delta U+A=\frac{3}{2}\nu R\Delta T+\nu R\Delta T=\frac{5}{2}\nu R\Delta T$$ Теперь найдём количество теплоты затраченное на каждый из процессов:
$$Q_{23}=\frac{5}{2}\nu R(T_3-T_2)=\frac{5}{2}\nu R(6T_0-3T_0)=7.5\nu RT_0$$ $$Q_{41}=\frac{5}{2}\nu R(T_1-T_4)=\frac{5}{2}\nu R(T_0-2T_0)=-2.5\nu RT_0$$ Тогда искомое отношение равно: $$\left| \frac{Q_{23}}{Q_{41}} \right| = \frac{7.5\,\nu R T_0}{2.5\,\nu R T_0} = 3$$

Ответ: 3.