Молекулярная физика

Перед решением задачи разберемся какие процессы представлены на графики и какие из них происходят с выделением тепла, а какие с поглощением:
Так процесс 1-2 является изобарным расширением, следовательно выполняется соотношение $\frac{V}{T}=const$, и так как объём газа увеличивается, то температура газа тоже растёт. Следовательно так как температура увеличивается, то внутренняя энергия газа тоже растёт и газ совершает положительную работу, таким образом по первому закону термодинамики процесс 1-2 происходит с поглощением тепла.
Процесс 2-3 является изохорным, следовательно выполняется соотношение $\frac{p}{T}=const$ и так как давление газа уменьшается то, температура газа тоже уменьшается. Следовательно так как температура уменьшается, то внутренняя энергия уменьшается, а работа газа в изохорном процессе равна нулю таким образом по первому закону термодинамики процесс 2-3 происходит с выделением тепла.
Процесс 3-1 является адиабатным сжатием, следовательно количество теплоты равно 0.
Таким образом видим, что газ получает теплоту только на участке 1–2. Тогда $Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T+\nu R\Delta T=\frac{5}{2}A_{12}$, где $\nu$ – количество вещества, $\Delta T$ – изменение температуры газа.
Работа газа равна $A=A_{12}-A_{31}$ так как на участке 2–3 работа не совершается, а при адиабатном сжатии работа газа отрицательна..
Таким образом КПД цикла равно:
$$\eta=\frac{A}{Q_{12}}=\frac{2(A_{12}-A_{31})}{5A_{12}}$$ Откуда искомое отношение равно:
$$\frac{A_{12}}{A_{31}}=\frac{2}{2-5\eta}=\frac{2}{2-5\cdot0.2}=2$$

Ответ: 2.

Для решения задачи заметим, что при температуре в сосуде равной $100^\circ C$ давление насыщенного водяного пара равно нормальному атмосферному давлению $p_\text{н.п.}=p_0=10^5$ Па.
Рассмотрим первый случай, тогда на невесомый поршень снаружи будет действовать атмосферное давление, а изнутри — смесь водяного пара $p_\text{п}$ и сухого воздуха $p_\text{с1}$ и по закону Дальтона суммарное давление равно $p_1=p_\text{п}+p_\text{с1}$, и так как поршень находится в равновесии, то внутреннее давление равно атмосферному $p_1=p_0$. Так же из формулы относительной влажности воздуха можем найти давление водяного пара, т.е. $p_\text{п}=\varphi p_\text{н.п.}=\varphi p_0$, тогда получаем уравнение:
$$p_0=\varphi p_0+p_\text{с1}\Rightarrow p_\text{с1}=p_0(1-\varphi)$$ Рассмотрим, что будет происходить при насыпании песка на поршень: очевидно, что давление газа будет изменятся. Также, так как на стенках сосуда выпала роса, то значит пар стал насыщенным, тогда так как в конечной точке поршень находится в равновесии, то выполняется условие равновесия:
$$p_0+\frac{m_\text{п}g}{S}=p_2$$ Где $m_\text{п}$ – масса песка, $S$ – площадь поперечного сечения цилиндра. С другой стороны по закону Дальтона:
$$p_2=p_\text{н.п.}+p_\text{с2}=p_0+p_\text{с2}$$ Далее будем считать, что к сухому воздуху можно применять модель идеального газа, тогда будем считать процесс сжатия газа изотермическим, тогда справедливо соотношение $p_\text{с1}V_1=p_\text{с2}V_2\Rightarrow p_\text{с2}=6p_\text{с1}$ Объединяя все уравнения получим:
$$p_0+6p_\text{с1}=p_0+\frac{m_\text{п}g}{S}$$ $$\frac{m_\text{п}g}{S}=6p_\text{с1}$$ $$m_\text{п}g=6p_0(1-\varphi)S \tag{1}$$ Далее запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для начального и конечного состояния: $$\varphi p_0V_1=\frac{m_1}{M}RT \quad\quad p_0V_2=\frac{m_2}{M}RT$$ Где $m_1$ и $m_2$ – массы водяных паров в начальном и конечном состоянии соответственно.Так же можем записать уравнения для объёма $V_1=SH$, $V_2=SH/6$, подставляя эти выражения выразим массы паров:
$$m_1 = \frac{\varphi p_0 SHM}{RT} \quad\quad m_2 = \frac{p_0 SHM}{6RT}$$ Тогда масса сконденсированной в виде росы воды равна:
$$m=m_1-m_2=\frac{\varphi p_0 SHM}{RT} - \frac{p_0 SHM}{6RT} = \frac{p_0 SHM (6\varphi - 1)}{6RT} \tag{2}$$ И объединяя уравнения (1) и (2), находим массу песка:

$$m_\text{п} = \frac{36 m RT (1 - \varphi)}{HMg (6\varphi - 1)} = \frac{36 \cdot 2 \cdot 10^{-4} \cdot 8{,}31 \cdot 373 \cdot (1 - 0{,}2)} {10 \cdot 18 \cdot 10^{-3} \cdot 2 \cdot (6 \cdot 0{,}2 - 1)} \approx 248~\text{кг}.$$

Ответ: $\approx 248~\text{кг}.$

Для решения задачи заметим, что воздух представляет из себя смесь водяных паров и сухого воздуха, так же при температуре в сосуде равной $100^\circ C$ давление насыщенного водяного пара равно нормальному атмосферному давлению $p_\text{н.п.}=10^5$ Па.
Далее применим закон Дальтона, согласно которому давление воздуха равно сумме парциальных давлений сухого воздуха $p_0$ и водяного пара $p_\text{п}=\varphi p_\text{н.п.}$:
$$p_1=p_0+\varphi p_\text{н.п.}\Rightarrow p_0=p_1-\varphi p_\text{н.п.}$$ Далее применим закон Бойля — Мариотта для сухого воздуха, согласно которому при уменьшении объёма в $k$ раз,давление воздуха увеличивается в $k$ раз. В свою очередь давление водяного пара при уменьшении объема сначала увеличивается до тех пор, пока не достигнет давления насыщенных паров, после чего его парциальное давление будет оставаться постоянным. Таким образом давление в конечном состоянии:
$$3p_1=kp_0+p_\text{н.п.}\Rightarrow k=\frac{3p_1-p_\text{н.п.}}{p_0}=\frac{3p_1-p_\text{н.п.}}{p_1-\varphi p_\text{н.п.}}=\frac{3\cdot1.6\cdot10^5-10^5}{1.6\cdot10^5-0.6\cdot10^5}=3.8$$

Ответ: $k = 3.8$

Для решения задачи рассмотрим каждый процесс отдельно:
Так процесс 1–2 не является никаким изопроцессом, но для него по прежнему справедливо соотношение $\frac{pV}{T}=const$, и так как и давление и объём увеличиваются, то следовательно и температура будет расти, а значит изменение внутренней энергии в этом процесс $\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T_{12}>0$, так же можем заметить что газ расширяется, а значит работа газа $A_{12}>0$, тогда по первому началу термодинамики $Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}>0$, т.е процесс происходит с поглощением тепла.
Процесс 2-3 является изохорным, тогда справедливы два умозаключения, первое, работа газа $A_{23}=0$ и второе, справделиво соотношение $\frac{p}{T}=const$, и так давление уменьшается, то и температура газа тоже уменьшается, а значит изменение внутренней энергии в этом процесс $\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T_{23}<0$, таким образом по первому началу термодинамики $Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}<0$, т.е процесс происходит с выделением тепла.
И последний процесс 3-1 является адиабатным, т.е на этом участке газ не обменивается теплом с окружающей средой $Q_{31}=0$.
таким образом, видим, что газ получает тепло только на участке на участке 1–2 т.е. $Q_\text{нагр.}=Q_{12}$, а отдаёт это тепло на участке 2-3, т.е. $Q_\text{хол.}=Q_{23}$.
Теперь рассмотри подробнее процесс 1-2, работу газа в этом процессе можно вычислить как площадь фигуры под ним, т.е. работа газа равна площади трапеции: $$A_{12}=\frac{1}{2}(p_0+2p_0)V_0=\frac{3}{2}p_0V_0$$ В свою очередь изменение внутренней энергии в это процессе можно найти применив уравнение Менделеева-Клапейрона $pV=\nu RT$, тогда получим:
$$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T_{12}=\frac{3}{2}\Delta(pV)_{12}=\frac{3}{2}(2p_02V_0-p_0V_0)=\frac{9}{2}p_0V_0=3A_{12}$$ Тогда количество теплоты полученное от в этом процессе равно:
$$Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=3A_{12}+A_{12}=4A_{12}$$ Теперь рассмотрим весь цикл в целом, работу газа за цикл можно найти двумя способами, как разность работ на участках 1–2 и 3–1, и как разность количества тепла полученного от нагревателя и отданного холодильнику т.е. получим уравнение:
$$Q_\text{нагр.}-|Q_\text{хол.}|=A_{12}-|A_{31}|$$ $$\Downarrow$$ $$|Q_\text{хол.}|=Q_\text{нагр.}-A_{12}+|A_{31}|=4A_{12}-A_{12}+|A_{31}|=3A_{12}+|A_{31}|=3\cdot1000+370=3370~\text{Дж}$$ Ответ: $3370~\text{Дж}$

Перед решением задачи разберемся какие процессы представлены на графики и какие из них происходят с выделением тепла:\
Так процесс 1-2 является изобарным расширением, следовательно работа газа в этом процессе равно нулю, и выполняется соотношение $\frac{V}{T}=const$, и так как объём газа увеличивается, то температура газа увеличивается, а значит внутренняя энергия газа тоже растёт, тогда по первому закону термодинамики процесс происходит с поглощением тепла.
Процесс 2-3 является не является изопроцессом, но для него справедливо соотношение $\frac{pV}{T}=const$ и так как и давление и объём уменьшаются то и температура тоже будет падать, а значит процесс происходит с выделением тепла.
Процесс 3-1 является изохорным, следовательно справедливо соотношение $\frac{p}{T}=const$, и так как давление увеличивается, то и температура тоже растёт, значит изменение внутренняя энергия и работа газа положительные, тогда по первому закону термодинамики газ поглощает тепло.
Таким образом полученное количество теплоты в цикле равно:
$$Q=Q_{12}+Q_{31}$$ Вычислим отдельно количество теплоты в каждом процессе. Так $Q_{12}=A_{12}+\Delta U_{12}$, где $A_{12}$– работа газа в процессе 1-2, а $\Delta U_{12}$ – изменение внутренней энергии в процессе 1-2 и тогда:
$$A_{12}=2p_0(3V_0-V_0)=4p_0V_0\Rightarrow p_0V_0=\frac{A_{12}}{4}$$ $$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\cdot2p_0(3V_0-V_0)=6p_0V_0$$ И тогда:
$$Q_{12}=A_{12}+\Delta U_{12}=4p_0V_0+6p_0V_0=10p_0V_0$$ Теперь найдём количество теплоты в процессе 3-1, а именно так как процесс является изохорным, то работа газа равна нулю, то есть:
$$Q_{31}=\Delta U_{31}=\frac{3}{2}(2p_0-p_0)V_0=1.5p_0V_0$$ Таким образом количество теплоты полученное от нагревателя, равно: $$Q=Q_{12}+Q_{31}=10p_0V_0+1.5p_0V_0=11.5p_0V_0=\frac{11.5A_{12}}{4}=\frac{11.5\cdot5000}{4}=14375\,\text{Дж}$$

Ответ: $Q = 14375\,\text{Дж}$