Молекулярная физика

Согласно первому началу термодинамики, переданное газу тепло идет на изменение его внутренней энергии и на работу про- внешних сил. $Q=\Delta U + A$. Для идеального одноатомного газа изменение внутренней энергии определяется только изменением его температуры: $\Delta U=\frac{3}{2} \nu R\Delta T$.

Согласно условию, процесс идет таким образом, что давление изменяется обратно пропорционально квадрату объема, то есть можно записать $p=\frac{\alpha^2}{V^2}$, где $\alpha$ — некоторая постоянная (константа выбрана таким образом для удобства дальнейшего изложе- ния). Обращая данное равенство получаем, что $V=\frac{\alpha}{\sqrt{p}}$.

Идеальный газ подчиняется уравнению Клапейрона — Менделеева:

$$pV=\nu RT \Rightarrow p\frac{\alpha}{\sqrt{p}}=\nu RT \Rightarrow \alpha\sqrt{p}=\nu RT,$$

Записав последнее выражение для начального и конечного состояний, после чего поделив одно на другое, получаем выраже- ние для конечной температуры:

$$T_2=T_1\sqrt{\frac{p_2}{p_1}}=600\ \text{К}\cdot\sqrt{\frac{10^5\ \text{Па}}{4\cdot10^5\ \text{Па}}}=300\ \text{К}.$$

Таким образом, количество теплоты, которое газ отдал при расширении, равно:

$$Q'=-\Delta U-A=\frac{3}{2}\cdot 1 \cdot 8{,}31\ \text{Дж/(моль\(\cdot\)К)}\cdot(600\ \text{К}-300\ \text{К})- 2493\ \text{Дж}\approx 1247\ \text{Дж}.$$

Ответ: Q' $\approx 1247$ Дж.

Поскольку поршень может свободно двигаться, процесс передачи тепла газу происходит при постоянном давлении. При этом условие равновесия поршня: $$p=p_{\text{атм}}+\frac{mg}{S}.$$

Согласно первому началу термодинамики, переданное газу тепло идет на изменение его внутренней энергии и на работу против внешних сил: $$Q=\Delta U+A=p\Delta V+\frac{3}{2}\nu R\Delta T.$$

Идеальный газ подчиняется уравнению Менделеева — Клапейрона: $p\nu=\nu RT$. Следовательно, при постоянном давлении изменения объема и температуры связаны соотношением: $$p\Delta V=\nu R\Delta T.$$

Следовательно: $$Q=\frac{5}{2}p\Delta V,\quad откуда\quad \Delta V=\frac{2Q}{5p}.$$

Температура в начальном и конечном состояниях совпадает, а значит, давление и объем в начальном и конечном состояниях связаны соотношением: $$pV_0=p_{\text{атм}}\,(V_0+\Delta V),$$ откуда: $$V_0=\frac{p_{\text{атм}}}{p-p_{\text{атм}}}\,\Delta V=\frac{p_{\text{атм}}S}{mg}\cdot \frac{2Q}{5p}.$$

Таким образом, для температуры имеем: $$T_0=\frac{pV_0}{\nu R}=\frac{2p_{\text{атм}}SQ}{5mg\nu R} =\frac{2\cdot 10^5\cdot 0{,}02\cdot 3}{5\cdot 1\cdot 0{,}1\cdot 8{,}31} \approx 290\ \text{К}.$$

$$\text{Ответ: }290\ \text{К}.$$

Поскольку поршень может свободно двигаться, процесс отдачи тепла газом происходит при постоянном давлении: $$p=p_{\text{a}}+\frac{mg}{S}.$$

Согласно первому началу термодинамики, переданное газу тепло идет на изменение его внутренней энергии и на работу против внешних сил (несмотря на то, что тепло отнимают от газа, его можно считать переданным, но с отрицательным знаком): $$Q=\Delta U+A=\frac{3}{2}\nu R\Delta T+p\Delta V.$$

Идеальный газ подчиняется уравнению Менделеева — Клапейрона: $p\nu=\nu RT$. Следовательно, изменения объема и температуры при постоянном давлении связаны соотношением $$p\Delta V=\nu R\Delta T.$$

Следовательно, $$Q=\frac{5}{2}p\Delta V\Rightarrow \Delta V=\frac{2Q}{5p}.$$

Температура в начальном и конечном состояниях совпадает, а значит, давление и объем в начальном и конечном состояниях связаны соотношением $$pV_0=1{,}2p_a\left(V_0+\Delta V\right),$$ откуда $$V_0=\frac{2}{5}\cdot \frac{-Q}{p_a+\dfrac{mg}{S}}\cdot \frac{1{,}2p_a}{0{,}2p_a-\dfrac{mg}{S}}\approx 0{,}00245\ \text{м}^3.$$

Таким образом, для температуры имеем $$T_0=\frac{pV_0}{\nu R}\approx 296\ \text{К}.$$

$$\text{Ответ: }296.$$

Количество теплоты, полученное при нагреве льда, находящегося в калориметре, до температуры $t=0^\circ$C: $Q_1=c_1m_1(0-t_1)(1)$.

Количество теплоты, полученное льдом при его таянии при $0^\circ$C: $Q_2=\lambda m_1(2)$.

Количество теплоты, отданное водой при охлаждении ее до $0^\circ$C : $Q= c_2m_2(t_2-0)$ (3).

Уравнение теплового баланса: $Q=Q_1+Q_2$ (4).

Объединяя (1)–(4), получаем:

$$m_1=\frac{m_2c_2(t_2-0)}{c_1(0-t_1)+\lambda} =\frac{4\cdot 4200\cdot 20}{2100\cdot 5+3.3\cdot 10^5}\approx 1\text{ кг.}$$

Ответ: $m_1\approx 1$ кг.

Количество теплоты, необходимое для нагревания льда, находящегося в калориметре, до температуры $t$: $Q=c_1m_1(t-t_1). \ (1)$

Количество теплоты, отдаваемое водой при охлаждении ее до $0^\circ$C: $Q_1=c_2m_2(0-t_2). \ (2)$

Количество теплоты, выделяющейся при отвердевании воды при $0^\circ$C: $Q_2=-\lambda m_2. \ (3)$

Количество теплоты, выделяющейся при охлаждении льда, полученного из воды, до температуры $t$: $Q_3=c_1m_2(t-0). \ (4)$

Уравнение теплового баланса: $Q+Q_1+Q_2+Q_3=0. \ (5)$

Объединяя формулы (1)–(5), получаем:

$$t_1=\frac{m_1c_1t-m_2\left(c_2(t_2-0)+\lambda+c_1(0-t)\right)}{m_1c_1} =\frac{1\cdot 2100\cdot(-2)-0{,}015\cdot(4200\cdot 20+3{,}3\cdot 10^5+2100\cdot 2)}{1\cdot 2100} \approx -5^\circ C.$$

Ответ: $t_1\approx -5^\circ C$.