Электродинамика

Для решения задачи рассмотрим каждый случай в отдельности:
Для певого случая, когда ток течёт от плюса к минусу на схеме, то он не будет идти через диод, и соответственно, и через резистор $2R$. Таким образом получим эквивалентную схему с последовательным соединением резисторов $4R$, $R$ и $3R$. Тогда общее сопротивление цепи можно найти по формуле:
$$R_\text{общ.}=4R+R+3R=8R$$ Тогда при такой полярности на участке цепи выделится суммарная мощность:
$$W_1=\frac{U^2}{R_\text{общ.}}=\frac{U^2}{8R}$$ Теперь перейдём ко второму варианту подключения, при смене полярности. Тогда цже ток будет проходить через диод, а соответственно, и через резистор $2R$. Тогда получим эквивалентную схему, где резисторы $4R$ и $R$ подключены последовательно, к ни параллельно присоединён резистор $2R$, а к этому параллельному участку подключён последовательно резистор $3R$. Тогда общее сопротивление цепи можно найти по формуле:
$$R_\text{общ.}'=3R+\left(\frac{1}{2R}+\frac{1}{4R+R}\right)^{-1}=\frac{31}{7}R$$ Тогда при такой полярности на участке цепи выделится суммарная мощность:
$$W_2=\frac{U^2}{R_\text{общ.}'}=\frac{7U^2}{31R}$$ Таким образом, искомое отношение мощностей равно:
$$\frac{W_1}{W_2}=\frac{31}{7\cdot8}\approx 0.55$$

Для решения задачи рассмотрим каждую ситуация в отдельности:
Так в случаи с параллельным подключением трёх резисторов, общее сопротивление цепи можно найти по формуле:
$$R_\text{общ}=\frac{R}{3}$$ Где $R$ – сопротивление одной спирали.
Тогда количество теплоты, которое выделяется при работе электрочайника можно найти по формуле:
$$Q=P_1\tau_1=\frac{U^2\tau_1}{R_\text{общ}}=\frac{3U^2\tau_1}{R}$$ Где $U$ – напряжение на концах цепи.
Далее рассмотри подключение предоставленное на рисунке, видим что в этом случае две спирали будут соединены параллельно и к ним последовательно будет присоединена третья. В этом случае уже сопротивление всей цепи будет равно:
$$R_\text{общ}'=\frac{R}{2}+R=\frac{3R}{2}$$ Тогда количество теплоты, которое выделяется при работе электрочайника можно найти по формуле:
$$Q=P_2\tau_2=\frac{U^2\tau_2}{R_\text{общ}'}=\frac{2U^2\tau_2}{3R}$$ Стоит пояснить что напряжение в чайнике $U$ останется таким же, так как устройство подключено в ту же самую электрическую сеть. А так же количество теплоты выделенное в обоих схемах за время $\tau_1$ и $\tau_2$, соответственно будет одинаковым, так как в обоих случаях нагревали до кипения одинаковую массу воды с одинаковой начальной температурой. Таким образом получим уравнение:
$$\frac{2U^2\tau_2}{3R}=\frac{3U^2\tau_1}{R}$$ Откуда выразим искомое время, необходимое для нагревания воды для чайника с второй схемой подключения спиралей:
$$\tau_2=\frac{9}{2}\tau_1=\frac{9\cdot3}{2}=13.5\,\text{мин}$$

Для решения задачи рассмотрим нагрузку, а именно запишем закон Ома для полной цепи и закон Ома для для участка цепи с реостатом:
$$I=\frac{\xi}{R+r} \quad\quad I=\frac{U}{R}$$ $$\Downarrow$$ $$U=\xi-Ir$$ Где $I$ – сила тока в цепи,$U$ – напряжение в цепи, $r$ – сопротивлени источника ЭДС, $\xi$ – ЭДС.
Тогда мощность, выделяемая в цепи, будет равна:
$$P=IU=I(\xi-Ir)$$ Видим, что мощность имеет квадратичную зависимость от силы тока в цепи, следовательно функция $P(I)$ имеет вид параболы, ветви которой будут направлены вниз, соответственно максимальное значение мощности $P_{max}$ будет находится в вершине этой параболы, то есть в точке экстремума функции.

Вычислим значение этого экстемума функции:
$$P'(I)=\xi-2Ir \,\,\text{и если \(P'(I)=0\), то}\,\,I=\frac{\xi}{2r}$$ И тогда: $$P_{max}=P\left(\frac{\xi}{2r}\right)=\frac{\xi^2}{4r}=\frac{6^2}{4\cdot2}=4.5\,\text{Вт}$$

Для решения задачи рассмотрим каждую ситауияю отдельно:
Так для первого случая видим, что направление тока не совпадает с направлением установки диода, а значит ток через него не течёт, следовательно в этом случае ток будет проходить только через резистор $R_1$. Тогда схема имеет вид:

Видим, что сопротивление всей цепи равно $R_\text{общ.}=R_1$. В этом случае мощность цепи находится по формуле:
$$P_1=\frac{\xi^2}{R_\text{общ.}}=\frac{\xi^2}{R_1}\Rightarrow R_1=\frac{\xi^2}{P_1}=\frac{12^2}{7,2}=20\,\text{Ом}$$ Теперь рассмотрим второй случай, после изменения полярности. Тогда уже направление тока будет совпадать с направлением установки диода, а значит ток через него будет течь, а следовательно и через резистор $R_2$. Тогда схема имеет вид:

Таки образом получаем схему с параллельным подключением резисторов $R_1$ и $R_2$, тогда сопротивление всей цепи равно:
$$R_\text{общ.}'=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)^{-1}$$ И следовательно, мощность цепи находится по формуле:
$$P_2=\frac{\xi^2}{R_\text{общ.}'}=\frac{\xi^2}{R_1}+\frac{\xi^2}{R_2}=P_1+\frac{\xi^2}{R_2}\Rightarrow R_2=\frac{\xi^2}{P_2-P_1}=\frac{12^2}{21.6-7.2}=10\,\text{Ом}$$

Для решения задачи рассмотрим нагрузку, а именно запишем закон Ома для полной цепи и закон Ома для для участка цепи с реостатом:
$$I=\frac{\xi}{R+r} \quad\quad I=\frac{U}{R}$$ $$\Downarrow$$ $$U=\xi-Ir$$ Где $I$ – сила тока в цепи,$U$ – напряжение в цепи, $r$ – сопротивлени источника ЭДС, $\xi$ – ЭДС.
Тогда мощность, выделяемая в цепи, будет равна:
$$P=IU=I(\xi-Ir)$$ Видим, что мощность имеет квадратичную зависимость от силы тока в цепи, следовательно функция $P(I)$ имеет вид параболы, ветви которой будут направлены вниз, соответственно максимальное значение мощности $P_{max}$ будет находится в вершине этой параболы, то есть в точке экстремума функции.

Вычислим значение этого экстемума функции:
$$P'(I)=\xi-2Ir \,\,\text{и если \(P'(I)=0\), то}\,\,I=\frac{\xi}{2r}$$ И тогда: $$P_{max}=P\left(\frac{\xi}{2r}\right)=\frac{\xi^2}{4r}\Rightarrow r=\frac{\xi^2}{4P_{max}}=\frac{6^2}{4\cdot4.5}=2\,\text{Ом}$$