Механика

Обоснование

Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной

Шайба рассматривается как материальная точка, поскольку её размеры малы по сравнению с радиусом кольца, а вращением самой шайбы можно пренебречь.​

На шайбу действует только сила тяжести и нормальная реакция опоры. Кольцо идеальное (гладкое), трения нет, сопротивление воздуха также не учитывается, поэтому работа непотенциальных сил отсутствует. Это позволяет применить закон сохранения механической энергии при движении шайбы по кольцу.​

В момент отрыва шайбы от поверхности кольца нормальная реакция опоры становится равной нулю, а центростремительное ускорение обеспечивается только компонентой силы тяжести. Поэтому для определения скорости отрыва и высоты используются законы механики для движения по окружности и второй закон Ньютона

1. На высоте $h$ в момент отрыва скорость шайбы равна $u$. По закону сохранения механической энергии между нижней точкой и высотой $h$: $$E_{\text{мех}}=\frac{m v^{2}}{2}=\frac{m u^{2}}{2}+m g h.$$

2. При этой скорости центростремительное ускорение в инерциальной системе $Oxy$, связанной с Землёй, равно $$a_{\text{цс}}=\frac{u^{2}}{R}.$$

3. В момент отрыва нормальная реакция опоры равна нулю; значит центростремительное ускорение создаётся только радиальной составляющей тяжести. По второму закону Ньютона: $$m a_{\text{цс}}=m g \sin\alpha,$$ где $\alpha$ — угол радиуса к вертикали.

4. Учитывая геометрию точки отрыва $\sin\alpha=\dfrac{h-R}{R}$, исключим $a_{\text{цс}}$ и $u$. Получим: $$\frac{m v^{2}}{2}=\frac{m g}{2}\,(h-R)+m g h =\frac{m g}{2}\,(3h-R).$$ Следовательно начальная кинетическая энергия внизу $$E_{\text{кин}}=\frac{m v^{2}}{2}=\frac{m g}{2}\,(3h-R).$$

Подстановка чисел со страницы: $m=0{,}01\ \text{кг}$, $g=10\ \text{м/с}^2$, $h=0{,}18\ \text{м}$, $R=0{,}14\ \text{м}$: $$E_{\text{кин}}=\frac{0{,}01\cdot 10}{2}\,(3\cdot 0{,}18-0{,}14) =0{,}5\,(0{,}54-0{,}14)=0{,}5\cdot 0{,}40=0{,}20/10=0{,}02\ \text{Дж}.$$

Обоснование.

1. Система отсчёта связана с Землёй и считается инерциальной; тела можно рассматривать как материальные точки, так как их размеры малы по сравнению с длиной нити.

2. При соударении «пуля — тело» применим закон сохранения импульса по горизонтали: внешние силы (вес и реакция опоры) вертикальны.

3. Движение составного тела от вершины полусферы описываем законом сохранения механической энергии: полусфера гладкая, работа силы нормальной реакции равна нулю.

4. В момент отрыва реакция опоры $N$ становится нулевой.

5. Второй закон Ньютона используем в ИСО для модели материальной точки.

1. Закон импульса при ударе связывает скорость пули $v_0$ со скоростью составного тела сразу после удара: $$m v_0 = (m+M) v_1.$$

Закон сохранения энергии связывает скорость составного тела сразу после удара с его скоростью в момент отрыва от полусферы: $$\frac{(m+M) v_1^2}{2} + (m+M) g R = \frac{(m+M) v_2^2}{2} + (m+M) g R \cos\alpha,$$ где $v_2$ — скорость составного тела в момент отрыва, а $h = R \cos\alpha$ — высота точки отрыва.

1. Второй закон Ньютона по радиусу (к центру полусферы) в момент отрыва: $$(m+M) g \cos\alpha = \frac{(m+M) v_2^2}{R}.$$

2. Объединяя уравнения, получаем: $$\frac{v_1^2}{2} + g R = \frac{3}{2} g h.$$ Отсюда $$h = \frac{1}{3 g}\!\left(\frac{m v_0}{m+M}\right)^2 + \frac{2}{3} R.$$

Подстановка чисел $m=0{,}01~\text{кг}$, $M=0{,}99~\text{кг}$, $v_0=200~\text{м/с}$, $R=1{,}0~\text{м}$, $g=10~\text{м/с}^2$ даёт: $$h = \frac{1}{3\cdot 10}\!\left(\frac{0{,}01\cdot 200}{0{,}99+0{,}01}\right)^2 + \frac{2}{3}\cdot 1 = 0{,}8~\text{м}.$$

Обоснование:

Систему отсчёта, связанную с Землёй, принимаем инерциальной.

Шайба рассматривается как материальная точка, так как её размеры значительно меньше всех характерных длин (длина плоскости, радиус кольца).​

На шайбу действуют силы тяжести, силы нормальной реакции опоры и силы трения. Сила трения является непотенциальной, поэтому закон сохранения механической энергии применяется с учётом работы силы трения, которая учитывается отдельным слагаемым в уравнении энергии.​

В точке В при отрыве шайбы нормальная реакция исчезает, а центростремительное ускорение возникает только за счёт проекции силы тяжести. Следовательно, для определения скорости отрыва используются второй закон Ньютона (движение по окружности).

Решение:

Закон изменения механической энергии с учётом работы трения (в момент старта в точке $A$ скорость $v_0$) даёт $$E_B-E_A=A_{\text{тр}}\quad\Rightarrow\quad \frac{m v_B^2}{2}+m g h-\frac{m v_0^2}{2}=-\mu m g L \cos\alpha. \tag{1}$$

В точке $B$ условие отрыва означает, что нормальная реакция опоры исчезает. Следовательно центростремительное ускорение равно нормальной составляющей ускорения свободного падения. Радиус кривизны траектории в $B$ равен радиусу трубы $R$, поэтому $$a_n=\frac{v_B^2}{R}=g\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad v_B^2=g R \cos\alpha. \tag{2}$$

Используем геометрию участка $AB$: $\sin\alpha=\dfrac{h}{L}$, $\cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac{h^2}{L^2}}$. Подставляя (2) в (1) и выражая $\mu$, получаем $$\mu=\frac{v_0^2}{2 g \sqrt{L^2-h^2}}-\frac{R}{2L}-\frac{h}{\sqrt{L^2-h^2}}.$$

Подстановка значений со страницы: $v_0=4\ \text{м/с},\ h=0{,}6\ \text{м},\ L=1{,}0\ \text{м},\ R=0{,}4\ \text{м},\ g=10\ \text{м/с}^2$: $$\mu=\frac{16}{2\cdot 10\cdot \sqrt{1-0{,}25}}-\frac{0{,}4}{2\cdot 1}-\frac{0{,}6}{\sqrt{1-0{,}36}}=0{,}12.$$

Обоснование:
Систему координат, соотнесённую с Землёй, примем инерциальной, а поступательно движущийся шарик рассмотрим как материальную точку.

Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, движение до столкновения происходит в однородном поле тяжести Земли, что позволяет применять закон сохранения механической энергии.

При ударе о доску модуль скорости шарика не изменился, значит, столкновение можно считать абсолютно упругим, а угол отражения равен углу падения.

После отскока на шарик действует только сила тяжести, поэтому его дальнейшее движение происходит с ускорением свободного падения.

1. Модуль скорости $v_0$ непосредственно перед ударом на высоте $h$ получаем из сохранения механической энергии между уровнями $H$ и $h$: $$m g (H-h)=\frac{m v_0^2}{2}.$$

2. При абсолютно упругом ударе модуль скорости не меняется, меняется только направление. Угол падения равен углу отражения, поэтому траектория после удара наклонена под углом $\beta=90^\circ-2\alpha$ к горизонту (см. рисунок). Максимальный приращённый подъём шарика относительно точки удара равен $$\Delta h=\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{v_0^2 \sin^2\beta}{2g}.$$

3. Относительно уровня земли конечная наибольшая высота равна $$h_1=h+\frac{v_0^2\sin^2\beta}{2g} = h + (H-h)\,\sin^2(90^\circ-2\alpha) = h + (H-h)\cos^2 2\alpha.$$ Следовательно, $$\cos 2\alpha=\sqrt{\frac{h_1-h}{H-h}}=\sqrt{\frac{0{,}25}{1}}=0{,}5,$$ откуда $2\alpha=60^\circ$ и, значит, $\alpha=30^\circ$.

Обоснование.

1. Систему отсчёта, связанную с Землёй, принимаем инерциальной; тела рассматриваем как материальные точки.

2. Взаимодействие пули и шара описываем законом сохранения импульса системы тел. Он справедлив в ИСО, если сумма внешних сил, проекций на горизонтальную ось в момент удара, равна нулю. В данной задаче веса и натяжение нити не дают вклада в проекцию на горизонталь, поэтому применим сохранение импульса по этой оси.

3. Для дальнейшего движения системы «шар с застрявшей пулей» используем закон сохранения механической энергии: сопротивлением воздуха пренебрегаем, а единственная не потенциальная сила — натяжение нити — работы не совершает на дуге окружности, так как направлена перпендикулярно скорости.

4. Минимальность начальной скорости пули $v_0$ означает, что шар сделает полный оборот в вертикальной плоскости, причём натяжение нити в верхней точке пути обращается в нуль.

Решение.

1. Закон импульса связывает скорость пули $v_0$ до удара со скоростью $v_1$ составного тела массы $m+M$ сразу после удара: $$m v_0=(m+M) v_1.$$ Закон сохранения энергии для движения составного тела от низа до верхней точки (скорость $v_2$ вверху): $$\frac{(m+M) v_1^2}{2}=\frac{(m+M) v_2^2}{2}+(m+M) g \cdot 2l.$$

2. Во второй (верхней) точке по оси, направленной к центру, второй закон Ньютона даёт условие минимума скорости при натяжении нити ноль: $$(m+M) g=\frac{(m+M) v_2^2}{l}.$$ Отсюда $v_2^2=g l$. Подставляя в уравнение энергии, получаем $$v_1^2=5 g l.$$

3. Из закона импульса выражаем массу пули: $$m=\frac{M\sqrt{5 g l}}{v_0-\sqrt{5 g l}}.$$ Подстановка чисел $M=0{,}23~\text{кг}$, $l=0{,}5~\text{м}$, $v_0=120~\text{м/с}$, $g=10~\text{м/с}^2$ даёт $$m=\frac{0{,}23\sqrt{5\cdot 10\cdot 0{,}5}}{120-\sqrt{5\cdot 10\cdot 0{,}5}} \approx 0{,}01~\text{кг}.$$