Иррациональные уравнения

$$\sqrt{-72 - 17x} = -x$$ Возведем обе части в квадрат, учитывая что подкоренное выражение и правая часть уравнения неотрицательны: $$-72 - 17x = x^2$$ $$x^2 + 17x + 72 = 0$$ $$D = 289 - 288 = 1$$ $$x = \frac{-17 \pm 1}{2}$$ Корни: $$x_1 = \frac{-17 + 1}{2} = -8$$ $$x_2 = \frac{-17 - 1}{2} = -9$$ Оба корня удовлетворяют ограничениям, следовательно ответ: -9;

$$7x - 31 = 4 \Leftrightarrow x = 5$$

Примечание: Ограничение не требуется, так как правая часть уравнения неотрицательная.

Возведем в квадрат:

$$\sqrt{-36-13x}=-x \Rightarrow -36-13x=x^2.$$

Получаем:

$$x^2+13x+36=0.$$

Решая квадратное уравнение, получаем:

$$x=-9 \quad \text{или} \quad x=-4.$$

Ограничение на корень: подкоренное выражение должно быть неотрицательно, и при этом должно выполняться исходное уравнение. Большим из найденных корней является число $-4$.

$$\sqrt[\,]{\frac{7}{4x-57}}=\frac{1}{3} \iff \frac{7}{4x-57}=\left(\frac{1}{3}\right)^2 \iff 4x-57=63 \iff 4x=120 \iff x=30.$$

Возведем в квадрат:

$$\sqrt{19+5x}=2 \Leftrightarrow 19+5x=4 \Leftrightarrow 5x=-15 \Leftrightarrow x=-3.$$