Кубы

Пусть ребро куба равно $a$. Площадь поверхности куба вычисляется по формуле: $$S = 6a^2$$

Подставляем известное значение площади: $$6a^2 = 128$$

Решаем уравнение относительно $a$: $$a^2 = \frac{128}{6} = \frac{64}{3}$$ $$a = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$$

Диагональ куба $d$ вычисляется по формуле: $$d = a\sqrt{3}$$

Подставляем найденное значение $a$: $$d = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 8$$

Пусть сторона куба равна $a$. Диагональ куба $d$ связана со стороной соотношением: $$d = a\sqrt{3}$$

Выражаем $a$ через $d$: $$a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Площадь поверхности куба вычисляется по формуле: $$S = 6a^2$$

Подставляем найденное значение $a$: $$S = 6 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$$

Площадь поверхности куба вычисляется по формуле: $$S = 6a^2$$ где $a$ — длина ребра.

При увеличении ребра в 3 раза новая площадь поверхности будет: $$S' = 6(3a)^2 = 6 \cdot 9a^2 = 9 \cdot 6a^2 = 9S$$

Таким образом, площадь поверхности увеличится в 9 раз.

Объем куба: $$V = a^3 = 24\sqrt{3}$$

Диагональ куба: $$d = a\sqrt{3}$$

Выразим $a$ из формулы объема: $$a = \sqrt[3]{24\sqrt{3}}$$

Подставим в формулу диагонали: $$d = \sqrt[3]{24\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = \sqrt[3]{24 \cdot 3^{3/2}} = 6$$

Связь между диагональю и ребром куба: $$d = a\sqrt{3}$$ $$a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = 2$$

Объем куба: $$V = a^3 = 2^3 = 8$$