Кубы

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$, $c$: $$S = 2(ab + ac + bc)$$

Подставляем известные значения ($a = 3$, $b = 4$, $S = 94$) и обозначаем неизвестное ребро через $x$: $$2(3 \cdot 4 + 3 \cdot x + 4 \cdot x) = 94$$

Решаем уравнение: $$2(12 + 7x) = 94 \\ 24 + 14x = 94 \\ 14x = 70 \\ x = 5$$

1. Найдём третье ребро $x$ через площадь поверхности: $$S = 2(ab + ac + bc) = 2(1 \cdot 2 + 1 \cdot x + 2 \cdot x) = 16$$ $$2(2 + 3x) = 16 \Rightarrow 3x + 2 = 8 \Rightarrow x = 2$$

2. Вычислим диагональ параллелепипеда: $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

$$\begin{align*} S &= 6a^2 = 24 \\ a^2 &= 4 \\ a &= 2 \\ V &= a^3 = 8 \end{align*}$$

$$\begin{align*} (a+1)^3 - a^3 &= 19 \\ 3a^2 + 3a + 1 &= 19 \\ a^2 + a - 6 &= 0 \\ a &= 2 \quad (\text{т.к. } a > 0) \end{align*}$$

$$\begin{align*} 6(a+1)^2 - 6a^2 &= 54 \\ 12a + 6 &= 54 \\ a &= 4 \end{align*}$$