Логарифмические неравенства метод рационализации

Найдем ОДЗ:

$$\begin{cases} x^2-7x+12>0,\\ x-4\ne 0,\\ \dfrac{(x-3)^7}{x-4}>0 \end{cases}$$

$$x\in(-\infty;3)\cup(4;+\infty)$$

На ОДЗ преобразуем исходное неравенство:

$$\log_3\left(x^2-7x+12\right)^7-\log_3 3^8-\log_3\frac{(x-3)^7}{x-4}\le 0$$

$$\log_3\frac{\left(x^2-7x+12\right)^7}{3^8\cdot\dfrac{(x-3)^7}{x-4}}\le 0$$

$$\log_3\frac{(x-3)^7(x-4)^7}{3^8\cdot\dfrac{(x-3)^7}{x-4}}\le 0$$

На ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству

$$\log_3\frac{(x-4)^8}{3^8}\le 0$$

$$8\cdot\log_3\frac{|x-4|}{3}\le 0$$

$$\log_3\frac{|x-4|}{3}\le 0$$

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

$$(3-1)\cdot\left(\frac{|x-4|}{3}-1\right)\le 0$$

$$\frac{|x-4|-3}{3}\le 0$$

$$|x-4|\le 3$$

$$-3\le x-4\le 3$$

$$1\le x\le 7$$

Пересекая с ОДЗ, получаем

$$x\in[1;3)\cup(4;7].$$

Ответ:

$$[1;3)\cup(4;7]$$

ОДЗ неравенства:

$$\begin{cases} x^2-6x+10>0,\\ x^2-6x+10\ne 1,\\ 5x^2+3>0,\\ 4x^2+7x+3>0 \end{cases} \Longleftrightarrow x\in(-\infty;-1)\cup\left(-\frac{3}{4};3\right)\cup(3;+\infty)$$

Решим неравенство на ОДЗ с помощью метода рационализации. Левая часть имеет вид $2\log_{a^2}b$ и равна на ОДЗ $\log_ab$. Следовательно, неравенство на ОДЗ равносильно

$$(x^2-6x+10-1)(5x^2+3-4x^2-7x-3)\le 0$$

$$(x-3)^2\cdot x\cdot(x-7)\le 0$$

$$x\in[0;7]$$

Пересечем полученные решения с ОДЗ и получим окончательный ответ $x\in[0;3)\cup(3;7]$.

Ответ:

$$[0;3)\cup(3;7]$$

Решение:

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов. Заметим, что $\log_{25}A = \frac12\log_5 A$.

Получаем:

$$\frac12\log_5((x-4)(x^2 - 2x - 8)) + 1 \geq 0,5\log_5 (x-4)^2$$

Умножим обе части на $2$:

$$\log_5((x-4)(x^2 - 2x - 8)) + 2 \geq \log_5 (x-4)^2 \Leftrightarrow$$

$$(*) \quad (x - 4)^2 > 0 \Leftrightarrow x \neq 4$$

$$\Leftrightarrow \log_5(25(x-4)(x^2 - 2x - 8)) \geq \log_5 (x-4)^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \log_5(25(x-4)(x^2 - 2x - 8)) - \log_5 (x-4)^2\geq 0$$

По свойству логарифмов:

$$\log_5\left(\frac{25(x-4)(x^2 - 2x - 8)}{(x-4)^2}\right) \geq 0$$

По методу рационализации:

$$(5 - 1)\left(\frac{25(x-4)(x^2 - 2x - 8)}{(x-4)^2} - 1\right) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{25(x-4)(x^2 - 2x - 8) - (x - 4)^2}{(x-4)^2} \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{25(x +2)(x - 4)^2 - (x - 4)^2}{(x-4)^2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(x - 4)^2(25x + 50 - 1)}{(x-4)^2} \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{(x - 4)^2(25x + 49)}{(x-4)^2} \geq 0$$

Ответ: $\left[-\frac{49}{25};\, 4\right) \cup (4;\, +\infty)$.

Решение:

$$(*) \begin{cases} x + 3 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ x^2 + 6x + 9 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -3 \\ x > -2 \\ (x + 3)^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x \neq -3 \end{cases} \Rightarrow x \in (-2; +\infty)$$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$0.25 = 4^{-1} \Rightarrow \log_{0.25}(x + 3) = -\log_4(x + 3)$$ $$\log_{0.25}^2(x + 3) = (\log_4(x + 3))^2$$ $$\log_4(x^2 + 6x + 9) = \log_4((x + 3)^2) = 2\log_4|x + 3| = 2\log_4(x + 3)$$

Подставим в исходное неравенство: $$((\log_4(x + 3))^2 - 2\log_4(x + 3) + 1) \cdot \log_4(x + 2) \leq 0$$ $$(\log_4(x + 3) - 1)^2 \cdot \log_4(x + 2) \leq 0$$

Применим метод рационализации: $$(\log_4(x + 3) - \log_4 4)^2 \cdot (\log_4(x + 2) - \log_4 1) \leq 0$$ $$\left(\frac{x + 3}{4} - 1\right)^2 \cdot (x + 2 - 1) \leq 0$$ $$(x - 1)^2 \cdot (x + 1) \leq 0$$

Решим неравенство методом интервалов:

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; -1] \cup \{1\}$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (-2; -1] \cup \{1\}$$

Ответ: $x \in (-2; -1] \cup \{1\}$