Логарифмические неравенства метод рационализации

$$*\begin{cases} x^2 + 6x + 10 > 0\\ x^2 + 6x + 10 \neq 1\\ 3x + 10 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x + 3)^2 + 1 > 0 \quad \text{Всегда}\\ x^2 + 6x + 9 \neq 0\\ x > -\frac{10}{3} \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} (x + 3)^2 \neq 0\\ x > -\frac{10}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq -3\\ x > -\frac{10}{3} \end{cases} \Rightarrow x \in \left(-\frac{10}{3}; -3\right) \cup \left(-3; +\infty\right)$$

Вернёмся к исходному неравенству: $$(4x + 13)\cdot\log_{x^2 + 6x + 10}(3x + 10) \geq 0$$

По методу рационализации: $$(4x + 13)\cdot(x^2 + 6x + 10 - 1)(3x + 10 - 1) \geq 0 \Leftrightarrow (4x + 13)(x^2 + 6x + 9)(3x + 9) \geq 0$$ $$\Leftrightarrow (4x + 13)(x + 3)^2\cdot 3(x + 3) \geq 0 \Leftrightarrow 3(4x + 13)(x + 3)^3 \geq 0$$ $$\Leftrightarrow (4x + 13)(x + 3)^3 \geq 0$$

Получаем: $$x \in \left(-\infty;-\frac{13}{4}\right] \cup [-3; +\infty)$$

С учётом ограничения $*$, получаем итоговый ответ: $$x \in \left(-\frac{10}{3}; -\frac{13}{4}\right] \cup \left(-3; +\infty\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{10}{3}; -\frac{13}{4}\right] \cup \left(-3; +\infty\right)$

$$*\begin{cases} 2x + 4 > 0\\ 2x + 4 \neq 1\\ x^2 - 3x + 10 > 0 \text{ Всегда} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > -2\\ x \neq -\frac{3}{2}\\ \end{cases} \Rightarrow x \in \left(-2; -\frac{3}{2}\right) \cup \left(-\frac{3}{2}; +\infty\right)$$

Вернёмся к исходному неравенству: $$\log_{2x + 4}(x^2 - 3x + 10) \geq 1 \Leftrightarrow \log_{2x + 4}(x^2 - 3x + 10) - 1 \geq 0 \Leftrightarrow \log_{2x + 4}(x^2 - 3x + 10) - \log_{2x + 4}(2x + 4) \geq 0$$

По методу рационализации: $$(2x + 4 - 1)(x^2 - 3x + 10 - 2x - 4) \geq 0 \Leftrightarrow (2x + 3)(x^2 - 5x + 6) \geq 0$$ $$\Leftrightarrow (2x + 3)(x - 2)(x - 3) \geq 0$$

Получаем: $$x \in \left[-\frac{3}{2}; 2\right] \cup [3; +\infty)$$

С учётом ограничения $*$, получаем итоговый ответ: $$x \in (-1,5; 2] \cup [3; +\infty)$$

Ответ: $(-1,5; 2] \cup [3; +\infty)$

$$(*)\begin{cases} 3^x - 2 > 0\\ \log_{\tfrac{1}{5}}^2(3^x - 2) - \log_{\tfrac{1}{5}}(3^x - 2)^2 + 1 \neq 0 \end{cases}$$

С учётом первого условия системы: $$(*)\begin{cases} 3^x - 2 > 0\\ \log_{\tfrac{1}{5}}^2(3^x - 2) - 2\log_{\tfrac{1}{5}}(3^x - 2) + 1 \neq 0 \end{cases}$$ $$(*)\begin{cases} 3^x - 2 > 0\\ \left(\log_{\tfrac{1}{5}}(3^x - 2) - 1\right)^2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow (*)\begin{cases} 3^x > 3^{\log_32}\\ \log_{\tfrac{1}{5}}(3^x - 2) \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow(*)\begin{cases} x > \log_32\\ x \neq \log_32,2 \end{cases} \Rightarrow(*) \quad x \in (\log_32; \log_32,2) \cup (\log_32,2; +\infty)$$

Преобразуем исходное неравенство:

$$\frac{4^x - 3\cdot2^{x + 1} + 5}{\left(\log_{\tfrac{1}{5}}^2(3^x - 2) -1\right)^2} \leq 0$$

C учётом ограничения $(*)$, знак неравенства определяет только числитель дроби: $$4^x - 3\cdot2^{x + 1} + 5 \leq 0 \Leftrightarrow 4^x - 6\cdot2^x + 5 \leq 0$$ $$2^{2x} - 6\cdot2^x + 5 \leq 0$$ Пусть $t = 2^x > 0$ $$t^2 - 6t + 5 \leq 0$$ Заметим, что сумма коэффициентов равна 0. Тогда: $$(t - 5)(t - 1) \leq 0$$

$$\begin{cases} t \geq 1\\ t \leq 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2^x \geq 1 \\ 2^x \leq 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 0\\ x \leq \log_25 \end{cases}$$

Пересекая с ограничением $(*)$, получаем итоговый ответ: $$x \in (\log_32; \log_32,2) \cup (\log_32,2; \log_25]$$

Ответ: $(\log_32; \log_32,2) \cup (\log_32,2; \log_25]$

$$(*) 4 - x \geq 0 \Rightarrow (*) x \leq 4$$

Преобразуем знаменатель: $$2^{x^2 - 5} - 17\cdot2^{0,5x^2 - 4,5} + 1 = \frac{2^{x^2}}{32} - 17\cdot\frac{2^{0,5x^2}}{\sqrt{2^9}} + 1 = \frac{2^{x^2}}{32} - 17\cdot\left(\frac{2^{x^2}}{2^9}\right)^\frac{1}{2} + 1 =$$ $$= \frac{2^{x^2}}{32} - 17\cdot\frac{\left(2^{x^2}\right)^\frac{1}{2}}{16\sqrt2} + 1$$ Пусть $(2^{x^2})^\frac{1}{2} = t > 0$ $$\frac{t^2}{32} - 17\cdot\frac{t}{16\sqrt2} + 1$$ Знак всего выражения зависит только от знаменателя (числитель $\sqrt{4-x} \geq 0$), поэтому при условии $(*)$, неравенство равносильно: $$\frac{t^2}{32} - 17\cdot\frac{t}{16\sqrt2} + 1 < 0\Leftrightarrow \sqrt2t^2 - 34t + 32\sqrt2 < 0 \Leftrightarrow t^2 - 17\sqrt2\cdot t + 32 < 0$$ $$D = 578 - 4\cdot1\cdot32 = 450$$ $$\sqrt{D} = 15\sqrt2$$

$$t = \frac{17\sqrt2 + 15\sqrt2}{2} = 16\sqrt2, \quad t = \frac{17\sqrt2 - 15\sqrt2}{2} = \sqrt2$$ $$(2^{0,5x^2} - \sqrt2)(2^{0,5x^2} - 16\sqrt2) < 0$$ $$(2^{0,5x^2} - 2^{\frac{1}{2}})(2^{0,5x^2} - 2^{\frac{9}{2}}) < 0$$ По методу рационализации: $$(0,5x^2 - 0,5)(0,5x^2 - 4,5) < 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) < 0$$

Получаем: $$x \in (-3; -1) \cup (1; 3)$$

Так как исходное неравенство нестрогое ($\leq 0$), то $\sqrt{4-x} = 0$ даёт решение: $x = 4$.

Таким образом, пересекая с ограничением $(*)$, получаем ответ: $$x \in (-3; -1) \cup (1; 3) \cup \{4\}$$

Ответ: $(-3; -1) \cup (1; 3) \cup \{4\}$

$$5^{\log_{5}(9-x^2)}+x^4-29\ge 0$$

1. Область допустимых значений

$$9-x^2>0$$ $$x^2<9$$

$$-3<x<3$$

1. Решение неравенства

$$5^{\log_{5}(9-x^2)}=9-x^2$$ $$9-x^2+x^4-29\ge 0$$ $$x^4-x^2-20\ge 0$$

Пусть $x^2=t$ $(t\ge 0)$

$$t^2-t-20\ge 0$$ $$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-20)=1+80=81$$ $$t_1=\frac{1+9}{2}=5,\quad t_2=\frac{1-9}{2}=-4$$ $$t^2-t-20=(t-5)(t+4)\ge 0$$

$$t\le -4 \quad \text{или} \quad t\ge 5$$

1. Возвращаемся к переменной $x$

$$t\le -4$$

невозможно,

так как $t=x^2\ge 0$

$$t\ge 5$$ $$x^2\ge 5$$ $$|x|\ge \sqrt{5}$$ $$x\le -\sqrt{5}$$ или $$x\ge \sqrt{5}$$

1. Учитываем ОДЗ: $-3<x<3$

$$\text{Ответ: }[-3;-\sqrt{5}]\cup[\sqrt{5};3]$$