Логарифмические неравенства первой степени

$$(*) \tfrac{x}{5} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 5$$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\frac{x}{3}\log_2\left(\tfrac{x}{5} - 1\right) - 3\log_2\left(\tfrac{x}{5} - 1\right) \geq 0$$ $$\log_2\left(\tfrac{x}{5} - 1\right) \left(\frac{x}{3} - 3\right) \geq 0$$ $$\log_2\left(\tfrac{x}{5} - 1\right) (x - 9) \geq 0$$

Найдем нули выражения: $$\log_2\left(\tfrac{x}{5} - 1\right) = 0 \quad \text{или} \quad x - 9 = 0$$ $$\tfrac{x}{5} - 1 = 1 \quad \text{и} \quad x = 9$$ $$x = 10 \quad \text{и} \quad x = 9$$

Учитывая $(*)$, получаем ответ: $$x \in (5; 9] \cup [10; +\infty)$$

Ответ: $x \in (5; 9] \cup [10; +\infty)$

$$(*) \begin{cases} x^2 - 4 > 0\\ x + 2 \neq 0\\ \frac{x - 2}{x + 2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\\ x \neq -2 \\ x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$2\log_{2^2}(x^2 - 4) - \log_{2^{-1}}\frac{x - 2}{x + 2} \geq -3$$ $$\log_2(x^2 - 4) + \log_2\frac{x - 2}{x + 2} \geq -3 \Leftrightarrow \log_2(x - 2)(x + 2) + \log_2\frac{x - 2}{x + 2} \geq -3$$ $$\log_2\frac{(x - 2)(x - 2)(x + 2)}{x + 2} \geq -3$$ $$\log_2(x - 2)^2 \geq -3 \Leftrightarrow \log_2(x - 2)^2 \geq -\log_22^3 \Leftrightarrow \log_2(x - 2)^2 \geq \log_2\frac{1}{8}$$ Так как основания логарифмов 2 > 1, неравенство равносильно: $$(x - 2)^2 \geq \frac{1}{8} \Leftrightarrow \left(x - 2 - \frac{1}{\sqrt8}\right)\left(x - 2 + \frac{1}{\sqrt8}\right) \geq 0$$ $$\left(x - 2 - \frac{\sqrt2}{4}\right)\left(x - 2 + \frac{\sqrt2}{4}\right) \geq 0$$

$$x \in \left(-\infty; 2 - \frac{\sqrt2}{4}\right] \cup \left[2 + \frac{\sqrt2}{4}; +\infty\right)$$

Пересекая с ограничением $(*)$, получаем ответ: $$x \in (-\infty; -2) \cup \left[2 + \frac{\sqrt2}{4}; + \infty\right)$$

Ответ: $(-\infty; -2) \cup \left[2 + \frac{\sqrt2}{4}; + \infty\right)$

$$(*) \begin{cases} x^2 - 9 > 0\\ x + 3 \neq 0\\ \frac{x - 3}{x + 3} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)\\ x \neq -3 \\ x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$\log_{2^{-1}}\frac{x - 3}{x + 3} + 2\log_{2^2}(x^2 - 9) \geq 5$$ $$-\log_2\frac{x - 3}{x + 3} + \log_2(x^2 - 9) \geq 5 \Leftrightarrow \log_2\frac{x^2 - 9}{\frac{x - 3}{x + 3}} \geq 5$$ $$\log_2\frac{(x - 3)(x + 3)(x + 3)}{x - 3} \geq 5 \Leftrightarrow \log_2(x + 3)^2 \geq 5$$ $$\log_2(x + 3)^2 \geq \log_2 32$$ Так как основания логарифмов 2 > 1, неравенство равносильно: $$(x + 3)^2 \geq 32 \Leftrightarrow (x + 3 - \sqrt{32})(x + 3 + \sqrt{32}) \Leftrightarrow (x + 3 - 4\sqrt2)(x + 3 + 4\sqrt2)$$

$$x \in \left(-\infty; -3 - 4\sqrt{2}\right] \cup \left[-3 + 4\sqrt{2}; +\infty\right)$$

Пересекая с ограничением $(*)$, получаем ответ: $$x \in (-\infty; -3 - 4\sqrt{2}] \cup (3; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; -3 - 4\sqrt2] \cup (3; + \infty)$