Логарифмические неравенства первой степени

$$(*) \begin{cases} x\sqrt{2} > 0 \\ \frac{x}{1 - x} > 0 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ \frac{x}{1 - x} > 0 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x \in (0; 1) \\ \end{cases} \Rightarrow x \in (0; 1)$$

Если выполняется условие$(*)$, то $8x^2 + \frac{1}{x} - 5 > 0$ автоматически.

Преобразуем исходное неравенство: $$2\log_7(x\sqrt{2}) - \log_7\frac{x}{1 - x} \leq \log_7\left(8x^2 + \frac{1}{x} - 5\right)$$ $$\log_7(2x^2) - \log_7\frac{x}{1 - x} \leq \log_7\left(8x^2 + \frac{1}{x} - 5\right)$$ $$\log_7\left(\frac{2x^2(1 - x)}{x}\right) \leq \log_7\left(8x^2 + \frac{1}{x} - 5\right)$$

Так как основание логарифма $7 > 1$, с учётом $(*)$, неравенство равносильно: $$\frac{2x^2(1 - x)}{x} \leq 8x^2 + \frac{1}{x} - 5$$ $$2x(1 - x) \leq 8x^2 + \frac{1}{x} - 5$$ $$2x^2(1 - x) \leq 8x^3 + 1 - 5x$$ $$2x^2 - 2x^3 \leq 8x^3 + 1 - 5x$$ $$10x^3 - 2x^2 - 5x + 1 \geq 0$$ $$(5x - 1)(2x^2 - 1) \geq 0$$ $$(5x - 1)(\sqrt{2}x - 1)(\sqrt{2}x + 1) \geq 0$$

Решение неравенства: $$x \in \left[-\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{\sqrt{2}}; +\infty\right)$$

Учитывая ограничения $(*)$ $x \in (0; 1)$, получаем окончательный ответ: $$x \in \left(0; \frac{1}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{\sqrt2}; 1\right)$$

Ответ: $x \in \left(0; \frac{1}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{\sqrt2}; 1\right)$

$$(*) \begin{cases} 21 - 7x > 0 \\ x^2 - 8x + 15 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 3 \\ (x - 3)(x - 5) > 0 \\ x > -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 3 \\ x \in (-\infty; 3) \cup (5; +\infty) \\ x > -3 \end{cases} \Rightarrow x \in (-3; 3)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$\log_6(21 - 7x) \geq \log_6\left((x^2 - 8x + 15)(x + 3)\right)$$

Так как основание логарифма $6 > 1$, неравенство равносильно: $$21 - 7x \geq (x^2 - 8x + 15)(x + 3)$$ $$7(3 - x) \geq (x - 3)(x - 5)(x + 3)$$

Умножим обе части на $-1$ и поменяем знак неравенства: $$7(x - 3) \leq -(x - 3)(x - 5)(x + 3)$$ $$7(x - 3) + (x - 3)(x - 5)(x + 3) \leq 0$$ $$(x - 3)\left(7 + (x - 5)(x + 3)\right) \leq 0$$ $$(x - 3)(x^2 - 2x - 8) \leq 0$$ $$(x - 3)(x - 4)(x + 2) \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in \left(-\infty; -2\right] \cup [3; 4]$$ Учитывая $(*)$ $$x \in \left(-3; -2\right]$$

Ответ: $x \in \left(-3; -2\right]$

$$(*) \begin{cases} (2 - x)(x^2 + 5) > 0 \\ x^2 - 5x + 6 > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases}$$

Так как $x^2 + 5 > 0$ для всех $x$, первое неравенство упрощается: $$2 - x > 0 \Rightarrow x < 2$$

Второе неравенство: $$x^2 - 5x + 6 > 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 3) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$$

Третье неравенство: $$4 - x > 0 \Rightarrow x < 4$$

Пересекая все ограничения, получаем: $$x \in (-\infty; 2)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$\log_3((2 - x)(x^2 + 5)) \geq \log_3((x^2 - 5x + 6)(4 - x))$$

Так как основание логарифма $3 > 1$, неравенство равносильно: $$(2 - x)(x^2 + 5) \geq (x^2 - 5x + 6)(4 - x)$$ $$(2 - x)(x^2 + 5) \geq (x - 2)(x - 3)(4 - x)$$

Умножим обе части на $-1$ и поменяем знак неравенства: $$(x - 2)(x^2 + 5) \leq (x - 2)(x - 3)(x - 4)$$

Так как $x < 2$, то можем разделить обе части на $(x - 2)$, при этом знак неравенства изменится: $$x^2 + 5 \geq (x - 3)(x - 4)$$ $$x^2 + 5 \geq x^2 - 7x + 12$$ $$7x \geq 7 \Rightarrow x \geq 1$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in [1; 2)$$

Ответ: $x \in [1; 2)$

$$(*) \begin{cases} 2 + \frac{2}{x} > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{2x + 2}{x} > 0 \\ x > -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty) \\ x > -3 \end{cases} \Rightarrow x \in (-3; -1) \cup (0; +\infty)$$

Если выполняется условие $(*)$, то $\frac{6 + x}{x^2} > 0$ автоматически.

Преобразуем неравенство: $$\log_7\left(2 + \frac{2}{x}\right) \leq \log_7\left(\frac{6 + x}{x^2}\right) + \log_7(x + 3)$$ $$\log_7\left(2 + \frac{2}{x}\right) \leq \log_7\left(\frac{(6 + x)(x + 3)}{x^2}\right)$$

Основания логарифмов равны $7 > 1$, неравенство равносильно: $$2 + \frac{2}{x} \leq \frac{(6 + x)(x + 3)}{x^2}$$

$$2 + \frac{2}{x} \leq \frac{(6 + x)(x + 3)}{x^2}$$ $$\frac{2x + 2}{x} - \frac{(6 + x)(x + 3)}{x^2} \leq 0$$ $$\frac{2x^2 + 2x - (x^2 + 9x + 18)}{x^2} \leq 0$$ $$\frac{x^2 - 7x - 18}{x^2} \leq 0$$ $$\frac{(x + 2)(x - 9)}{x^2} \leq 0$$

Применяем метод интервалов:

Решение неравенства: $$x \in [-2; 0) \cup (0; 9]$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in [-2; -1) \cup (0; 9]$$

Ответ: $x \in [-2; -1) \cup (0; 9]$

$$(*) \begin{cases} (4 - x)^2 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 4 \\ x > \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow x \in \left(\frac{1}{2};4\right) \cup (4; +\infty)$$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_2(4 - x)^2 + \log_2(2x - 1)^2 \leq \log_23^4$$ $$\log_2\left((4 - x)^2(2x - 1)^2\right) \leq \log_281$$

Так как основание логарифма $2 > 1$, неравенство равносильно: $$(4 - x)^2(2x - 1)^2 \leq 81$$ $$81 - (4 - x)^2(2x - 1)^2 \geq 0 \Leftrightarrow 3^4 - (4 - x)^2(2x - 1)^2 \geq 0$$

По разности квадратов имеем: $$(9 - (4 - x)(2x - 1))(9 + (4 - x)(2x - 1)) \geq 0$$ $$(9 - (8x - 2x^2 - 4 + x))(9 + (8x - 2x^2 - 4 + x)) \geq 0$$ $$(9 + 2x^2 - 9x + 4)(-2x^2 + 9x + 5) \geq 0$$ $$(2x^2 - 9x + 13)(2x^2 - 9x - 5) \leq 0$$

Так как $2x^2 - 9x + 13 > 0$ при любых $x$ (дискриминант отрицательный), можем разделить обе части на этот положительный множитель: $$2x^2 - 9x - 5 \leq 0$$ $$2(x - 5)\left(x + \frac{1}{2}\right) \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in \left[-\frac{1}{2}; 5\right]$$

Учитывая ограничения $(*)$ $x \in \left(\frac{1}{2}; 4\right) \cup \left(4; +\infty\right)$, получаем окончательный ответ: $$x \in \left(\frac{1}{2}; 4\right) \cup \left(4; 5\right]$$

Ответ: $x \in \left(\frac{1}{2}; 4\right) \cup \left(4; 5\right]$