Логарифмические неравенства первой степени

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_3\left(\left(\frac{1}{x} - 1\right)\left(\frac{1}{x} + 1\right)\right) \leq \log_3(8x - 1)$$

Основания логарифмов $3 > 1$, неравенство равносильно: $$\left(\frac{1}{x} - 1\right)\left(\frac{1}{x} + 1\right) \leq 8x - 1$$

$$(*) \begin{cases} \tfrac{1}{x} - 1 > 0 \\ \tfrac{1}{x} + 1 > 0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \tfrac{1 - x}{x} > 0 \\ \tfrac{1 + x}{x} > 0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (0; 1) \\ x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty) \\ \end{cases} \Rightarrow x \in (0; 1)$$

Если выполняется условие $(*)$, то $8x - 1$ автоматически положительно. $$\frac{1}{x^2} - 1 \leq 8x - 1$$ $$\frac{1}{x^2} \leq 8x$$ Умножим обе части на $x^2$ (так как $x > 0$): $$1 \leq 8x^3$$ $$x^3 \geq \frac{1}{8}$$ $$x \geq \frac{1}{2}$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in \left[\frac{1}{2}; 1\right)$$

Ответ: $x \in \left[\frac{1}{2}; 1\right)$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_7\left(\frac{49x^2 - 25}{x}\right) \leq \log_7\left(50x - \frac{9}{x} - 10\right)$$

Так как основания логарифмов равны $7 > 1$, неравенство равносильно: $$\frac{49x^2 - 25}{x} \leq 50x - \frac{9}{x} - 10$$

$$(*) \begin{cases} 49x^2 - 25 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (7x - 5)(7x + 5) > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x \in \left(-\infty; -\frac{5}{7}\right) \cup \left(\frac{5}{7}; +\infty\right) \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x \in \left(\frac{5}{7}; +\infty\right)$$

Если выполняется условие $(*)$, то $50x - \frac{9}{x} -10$ автоматически положительно:

$$\frac{49x^2 - 25}{x} \leq 50x - \frac{9}{x} - 10$$ Умножим обе части на $x$ (так как $x > 0$): $$49x^2 - 25 \leq 50x^2 - 9 - 10x$$ $$49x^2 - 25 - 50x^2 + 9 + 10x \leq 0$$ $$- x^2 + 10x - 16 \leq 0$$ $$x^2 - 10x + 16 \geq 0$$ Разложим на множители: $$(x - 2)(x - 8) \geq 0$$

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; 2] \cup [8; +\infty)$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in \left(\frac{5}{7}; 2\right] \cup [8; +\infty)$$

Ответ: $x \in \left(\frac{5}{7}; 2\right] \cup [8; +\infty)$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_3\left((2x + 1)\left(\frac{1}{32x^2} + 1\right)\right) \geq \log_3\left(\frac{1}{16x} + 1\right)$$

Так как основания логарифмов равны $3 > 1$, неравенство равносильно: $$(2x + 1)\left(\frac{1}{32x^2} + 1\right) \geq \frac{1}{16x} + 1$$

$$(*) \begin{cases} \frac{1}{16x} + 1 > 0 \\ 2x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{1 + 16x}{16x} > 0 \\ x > -\frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -\frac{1}{16}) \cup (0; +\infty) \\ x > -\frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow x \in \left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{16}\right) \cup (0; +\infty)$$

Решаем основное неравенство: $$(2x + 1)\left(\frac{1}{32x^2} + 1\right) \geq \frac{1}{16x} + 1$$ $$\frac{2x + 1 + 64x^3 + 32x^2}{32x^2} \geq \frac{1 + 16x}{16x}$$ $$\frac{64x^3 + 32x^2 + 2x + 1}{32x^2} \geq \frac{1 + 16x}{16x}$$ $$\frac{64x^3 + 32x^2 + 2x + 1 - 2x - 32x^2}{32x^2} \geq 0$$ $$\frac{64x^3 + 1}{32x^2} \geq 0$$ Разложим числитель по формуле суммы кубов: $$\frac{(4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)}{32x^2} \geq 0$$ Так как $16x^2 - 4x + 1 >0$ при любом значении $x$, неравенство равносильно: $$\frac{4x + 1}{32x^2} \geq 0$$ Знаменатель положителен при любом $x$, следовательно знак неравенства определяет только числитель: $$4x + 1 \geq 0 \cup x \neq 0 \Leftrightarrow x \geq -\frac{1}{4} \cup x \neq 0$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in \left[-\frac{1}{4}; -\frac{1}{16}\right) \cup (0; +\infty)$$

Ответ: $x \in \left[-\frac{1}{4}; -\frac{1}{16}\right) \cup (0; +\infty)$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_2((x - 1)(x^2 + 3)) \leq \log_2((4x - x^2 - 3)(5 - x))$$

$$(*) \begin{cases} (x - 1)(x^2 + 3) > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (1;5)$$

Так как основание логарифма $2 > 1$, с учётом $(*)$ неравенство равносильно: $$(x - 1)(x^2 + 3) \leq (4x - x^2 - 3)(5 - x)$$ $$(x - 1)(x^2 + 3) \leq (x - 3)(1 - x)(5 - x)$$ $$(x - 1)(x^2 + 3) - (x - 3)(1 - x)(5 - x) \leq 0$$ $$(x - 1)(x^2 + 3) + (x - 3)(x - 1)(5 - x) \leq 0$$ $$(x - 1)(x^2 + 3 + (x - 3)(5 - x)) \leq 0$$ $$(x - 1)(x^2 + 3 + 5x - x^2 - 15 + 3x) \leq 0$$ $$(x - 1)(8x - 12) \leq 0$$ $$4(x - 1)(2x - 3) \leq 0$$ $$(x - 1)(2x - 3) \leq 0$$

$$x \in [1;1{,}5]$$

Учитывая $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (1;1{,}5]$$

Ответ: $x \in (1;1{,}5]$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_5((3-x)(x^2+2)) \geq \log_5((x^2-7x+12)(5-x))$$

$$(*) \begin{cases} x^2-7x+12 > 0 \\ 5-x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x-3)(x-4) > 0 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty;3) \cup (4;5)$$

Если выполняется условие $(*)$, то аргумент левого логарифма автоматически становится положительным. Так как основание логарифма 5 > 1, с учётом $(*)$ получаем равносильное неравенство: $$(3-x)(x^2+2) \geq (x^2-7x+12)(5-x)$$ $$(3-x)(x^2+2) - (x-3)(x-4)(5-x) \geq 0$$ $$(3-x)(x^2+2 + (x-4)(5-x)) \geq 0$$ $$(3-x)(x^2+2 + 5x-x^2-20+4x) \geq 0$$ $$(3-x)(9x-18) \geq 0$$ $$9(3-x)(x-2) \geq 0$$ $$(3-x)(x-2) \geq 0$$

$x \in [2;3]$

Учитывая $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in [2;3)$$

Ответ: $x \in [2;3)$