Логарифмические неравенства первой степени

$$(*) \begin{cases} x^2 + x - 2 > 0\\ \tfrac{(x - 1)^9}{x + 2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x + 2)(x - 1) > 0\\ \tfrac{(x - 1)^9}{x + 2} > 0 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$$

Преобразуем неравенство: $$9\log_7(x^2 + x - 2) - \log_7\tfrac{(x - 1)^9}{x + 2} \leq 10$$ $$\log_7(x^2 + x - 2)^9 - \log_7\tfrac{(x - 1)^9}{x + 2} \leq 10$$ $$\log_7\left(\tfrac{(x^2 + x - 2)^9 \cdot (x + 2)}{(x - 1)^9}\right) \leq 10$$ $$\tfrac{(x^2 + x - 2)^9 \cdot (x + 2)}{(x - 1)^9} \leq 7^{10}$$

Упростим выражение: $$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$$ $$\tfrac{((x + 2)(x - 1))^9 \cdot (x + 2)}{(x - 1)^9} = (x + 2)^{10}$$ Таким образом, неравенство принимает вид: $$(x + 2)^{10} \leq 7^{10}$$ $$|x + 2| \leq 7$$ $$-7 \leq x + 2 \leq 7$$ $$-9 \leq x \leq 5$$

Учитывая ограничение $x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$, получаем: $$x \in [-9; -2) \cup (1; 5]$$

Ответ: $x \in [-9; -2) \cup (1; 5]$

Преобразуем исходное неравенство: $$\log_2(x - 1)(x^2 + 2) - 1 + \log_2x \leq \log_2(x^2 + 3x - 4) \Leftrightarrow \log_2(x - 1)(x^2 + 2) - \log_22 + \log_2x \leq \log_2(x^2 + 3x - 4)$$ $$\log_2\frac{(x - 1)(x^2 + 2)x}{2} \leq \log_2(x^2 + 3x - 4)$$ $$(*)\begin{cases} (x - 1)(x^2 + 2) > 0\\ x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > 1$$

Так как основания логарифмов $2 > 1$, то $x^2+ 3x - 4 >0$ автоматически c учётом $(*)$ и неравенство равносильно: $$\frac{(x - 1)(x^2 + 2)x}{2} \leq x^2 + 3x - 4$$ $$\frac{(x - 1)(x^2 + 2)x}{2} \leq (x - 1)(x + 4)$$ $$\frac{(x - 1)(x^2 + 2)x - 2(x - 1)(x + 4)}{2} \leq 0$$ $$\frac{(x - 1)((x^2 + 2)x - 2(x + 4))}{2} \leq 0$$ $$(x - 1)(x^3 + 2x - 2x - 8) \leq 0$$ $$(x - 1)(x^3 - 8)\leq 0$$ $$(x - 1)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)\leq 0$$ $x^2 + 2x + 4 > 0$, разделим на этот множитель обе части. $$(x - 1)(x - 2) \leq 0$$

$$x \in [1; 2]$$

С учётом $(*) x > 1$, получаем: $x \in (1; 2]$

Ответ: $x \in(1; 2]$

Объединим логарифмы в правой части: $$\log_{\tfrac{1}{3}}(18 - 9x) < \log_{\tfrac{1}{3}}\left((x^2 - 6x + 5)(x + 2)\right)$$

Так как основания логарифмов $\tfrac{1}{3} < 1$, неравенство равносильно: $$18 - 9x > (x^2 - 6x + 5)(x + 2)$$ $$(*) \begin{cases} x^2 - 6x + 5 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x - 1)(x - 5) > 0 \\ x > -2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty) \\ x > -2 \end{cases} \Rightarrow x \in (-2; 1)$$ $$18 - 9x > (x^2 - 6x + 5)(x + 2) \Leftrightarrow 18 - 9x > x^3 + 2x^2 - 6x^2 - 12x + 5x + 10$$ $$18 - 9x > x^3 - 4x^2 - 7x + 10 \Leftrightarrow x^3 - 4x^2 + 2x - 8 < 0 \Leftrightarrow (x - 4)(x^2 + 2) < 0$$

$$x < 4$$

Учитывая $(*)$ $x \in (-2; 1)$, получаем: $$x \in (-2; 1)$$

Ответ: $x \in (-2; 1)$

$$(*) \begin{cases} 6 - 6x > 0\\ x + 3 > 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x < 1 \\ x > -3 \end{cases} \Rightarrow x \in (-3; 1)$$ $x^2 - 5x + 4 > 0$ будет автоматически выполняться, так как неравенство равносильно: $$\log_4(6 - 6x) < \log_4\left((x^2 - 5x + 4)(x + 3)\right)$$

Основания логарифмов $4 > 1$, тогда неравенство равносильно: $$6 - 6x < (x^2 - 5x + 4)(x + 3) \Leftrightarrow 6 - 6x < x^3 + 3x^2 - 5x^2 - 15x + 4x + 12$$ $$6 - 6x < x^3 - 2x^2 - 11x + 12$$ $$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 > 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 2)(x - 3) > 0$$

Решение неравенства: $$x \in (-2; 1) \cup (3; +\infty)$$

Учитывая ограничение $x \in (-3; 1)$, получаем: $$x \in (-2; 1)$$

Ответ: $x \in (-2; 1)$

$$(*) \begin{cases} x^3 - 3x^2 + 3x - 1 > 0 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x-1)^3 > 0 \\ (x-1)(x+1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \end{cases} \Rightarrow x \in (1; +\infty)$$

Преобразуем исходное неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_{2^3}(x-1)^3 \geq \log_2(x^2 - 1) - \log_2 32$$ $$\frac{3}{3}\log_2(x-1) \geq \log_2\left(\frac{x^2 - 1}{32}\right)$$ $$\log_2(x-1) \geq \log_2\left(\frac{x^2 - 1}{32}\right)$$

Так как основания логарифмов $2 > 1$, неравенство равносильно: $$x - 1 \geq \frac{x^2 - 1}{32}$$ $$32(x - 1) - (x^2 - 1) \geq 0$$ $$- x^2 + 32x - 31 \geq 0$$ $$x^2 - 32x + 31 \leq 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 31) \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in [1; 31]$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (1; 31]$$

Ответ: $x \in (1; 31]$