Логарифмы

$$(30 - 5\cdot5^{ \log_54})\cdot\log_25^{\tfrac{1}{2}}\cdot\log_54 = (30 - 5\cdot4)\cdot\frac{1}{2}\cdot\log_25\cdot\log_54$$

Воспользуемся свойством логарифмов: $\log_ab\cdot\log_cd = \log_ad\cdot\log_cb$ $$(30 - 5\cdot4)\cdot\frac{1}{2}\cdot\log_25\cdot\log_54 = 10\cdot\frac{1}{2}\cdot\log_24\cdot\log_55 = 5\cdot 2 = 10$$

Ответ: $10$

По формуле разности кубов: $$\frac{(1 - \log_53)(\log_5^23 + \log_53 + 1)}{(\log_53 + \log_35 + 1)\log_5\frac{5}{3}} = \frac{(1 - \log_53)(\log_5^23 + \log_53 + 1)}{(\log_53 + \log_35 + 1)(\log_55 - \log_53)} =$$ $$= \frac{(1 - \log_53)(\log_5^23 + \log_53 + 1)}{(\log_53 + \log_35 + 1)(1 - \log_53)}$$

По свойству логарифмов $\log_ab = \frac{1}{\log_ba}$

$$= \frac{(\log_5^23 + \log_53 + 1)}{(\log_53 + \frac{1}{\log_53} + 1)} = \frac{\log_53(\log_5^23 + \log_53 + 1)}{(\log_5^23 + \log_53 + 1)} = \log_53$$

Ответ: $\log_53$

Воспользуемся свойством логарифмов: $\log_ab + \log_ac = \log_a(b\cdot c)$. $$\log_a(a^2b^3) = \log_aa^2 + \log_ab^3 = 2\log_aa + 3\log_ab = 2- 6 = -4$$

$$\log_256 - \log_27 = \log_2\left(\frac{56}{7}\right) = \log_2 8 = 3$$

Выполним преобразования:

$$\log_{2} 240 - \log_{2} 3,75 = \log_{2}\frac{240}{3,75} = \log_{2} 64 = \log_{2} 2^{6} = 6.$$