Логарифмы

1. Используем свойства логарифмов: $\log_a \frac{a}{b^3} = \log_a a - \log_a b^3 = 1 - 3\log_a b$
2. Подставляем значение $\log_a b = 5$: $1 - 3 \cdot 5 = -14$

1. Используем свойства логарифмов: $\log_a (a^2b^3) = \log_a a^2 + \log_a b^3 = 2 + 3\log_a b$
2. Подставляем значение $\log_a b = -2$: $2 + 3 \cdot (-2) = -4$

1. Упрощаем выражение: $3^{\log_{2}3 \cdot \log_{3}2} = 3^{1} = 3$

Использовано свойство: $\log_{a}b \cdot \log_{b}a = 1$

Возведём основание и аргумент логарифма в квадрат.

$$441^{\log_{\sqrt{21}^2}12^2} = 441^{\log_{21}144}$$

Теперь представим число $441$ как квадрат числа $21$: $$(21^2)^{\log_{21}144} = 21^{2\cdot\log_{21}144} = 21^{\log_{21}144^2} = 144^2 = 20736$$

Ответ: $20736$

Рассмотрим части выражения по отдельности.

1. $25^{\log_{125}8}$. Представим числа 25 и 125 как степени числа $5$: $$(5^2)^{\log_{5^3}8} = 5^{\frac{2}{3}\cdot\log_58} = 5^{\log_58^{\frac{2}{3}}} = 5^{\log_54} = 4$$

2. $49^{\log_72}$. Представим число $49$ как степень числа 7: $$(7^2)^{\log_72} = 7^{2\log_72} = 7^{\log_74} = 4$$

3. $81^{\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{2}\cdot\log_94}$. Представим число $81$ как степень числа $3$: $$(3^4)^{\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{2}\cdot\log_94} = 3^{1 - 2\cdot\log_94} = 3\cdot3^{-2\log_94} = 3\cdot3^{-\log_34} =3 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 3\cdot3^{\log_3\frac{1}{4}} = 3\cdot\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Вычисляем:

$$(\tfrac{3}{4} + 4)\cdot4 = 19$$

Ответ: $19$