Уравнения

Преобразуем уравнение: $$2\sin x \cos x + \sqrt{2}\sin x - 2\cos x - \sqrt{2} = 0$$ $$\sin x (2\cos x + \sqrt{2}) - (2\cos x + \sqrt2) = 0$$ $$(\sin x - 1)(2\cos x + \sqrt{2}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \sin x = 1 \\ & \cos x = -\frac{\sqrt2}{2}\\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ & x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\\ \end{aligned} \right., k \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$$

Нам подходят корни: $$\frac{5\pi}{4}, \frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{5\pi}{4}, \frac{5\pi}{2}$

Используем формулу для $\cos 2x$: $$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$$ Подставим в уравнение: $$2(2\cos^2 x - 1) + 4\sqrt{3}\cos x - 7 = 0$$ $$4\cos^2 x + 4\sqrt{3}\cos x - 9 = 0$$ Сделаем замену $t = \cos x \in [-1; 1]$: $$4t^2 + 4\sqrt{3}t - 9 = 0$$ $$D = 48 + 144 = 192$$ $$t = \frac{-4\sqrt{3} \pm 8\sqrt{3}}{8}$$ $$t = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{или} \quad t = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \notin [-1; 1]$$ $$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$$

Нам подходит корень: $$\frac{23\pi}{6}$$

Ответ: а) $\pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{23\pi}{6}$

Используем формулу приведения: $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$$ Подставим в уравнение: $$\cos 2x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$$ Используем формулу для $\cos 2x$: $$1 - 2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$$ $$-2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x = 0$$ $$\sin x (-2\sin x + \sqrt{2}) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$3\pi, 4\pi, \frac{11\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = \pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $3\pi, 4\pi, \frac{11\pi}{4}$

Используем формулу приведения: $$\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$$ Подставляем в уравнение: $$4\cos^2 x = \frac{\cos x}{\sin x}$$ $$\frac{4\cos^2 x \sin x - \cos x}{\sin x} = 0$$ $$\frac{\cos x(4\cos x \sin x - 1)}{\sin x} = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[ \begin{aligned} & \cos x = 0 \\ & 2\sin 2x - 1= 0\\ \end{aligned} \right. \\ \sin x \neq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ & 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\\ & 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\\ \end{aligned} \right. \\ x \neq \pi k\end{cases}, k \in Z \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ & x = \frac{\pi}{12} + \pi k\\ & x = \frac{5\pi}{12} + \pi k\\ \end{aligned} \right. \\ x \neq \pi k\end{cases}, k \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $[-5\pi; -4\pi]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{2} - 5\pi = -\frac{9\pi}{2}$$ $$\frac{\pi}{12} - 5\pi = -\frac{59\pi}{12}$$ $$\frac{5\pi}{12} - 5\pi = -\frac{55\pi}{12}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{9\pi}{2}, -\frac{59\pi}{12}, -\frac{55\pi}{12}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{9\pi}{2}, -\frac{59\pi}{12}, -\frac{55\pi}{12}$

Раскроем синус суммы: $$\sin x + 2\left(\sin 2x \cos\frac{\pi}{6} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\sin 2x + 1$$ $$\sin x + \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{3}\sin 2x + 1$$ $$\sin x + \cos 2x = 1$$ Используем формулу для $\cos 2x$: $$\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 1$$ $$-2\sin^2 x + \sin x = 0$$ $$\sin x (-2\sin x + 1) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{1}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$ при :

$$\frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi, -2\pi, -\frac{19\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{19\pi}{6}, -3\pi, -2\pi$