Уравнения

Используем формулу синуса суммы: $$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)$$ Подставим в уравнение: $$2\sin^2x + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x) = \cos x$$ $$2\sin^2x + \sin x + \cos x = \cos x$$ $$2\sin^2x + \sin x = 0$$ $$\sin x (2\sin x + 1) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{1}{2}$$ $$\left[ \begin{aligned} & x = \pi k \\ & x = x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n\\ & x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\\ \end{aligned} \right., k, n \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку: $$-2\pi, -\pi, -\frac{5\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-2\pi, -\pi, -\frac{5\pi}{6}$

Используем формулу для $\cos 2x$: $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$ Подставим в уравнение: $$\sin^3 x + 1 - 2\sin^2 x + \sin x = 1$$ $$\sin^3 x - 2\sin^2 x + \sin x = 0$$ $$\sin x (\sin^2 x - 2\sin x + 1) = 0$$ $$\sin x (\sin x - 1)^2 = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = 1$$ $$x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку: $$2\pi, \frac{5\pi}{2}, 3\pi$$

Ответ: а) $x = \pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $2\pi, \frac{5\pi}{2}, 3\pi$

Используем формулу приведения: $$\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$$ Подставим в уравнение: $$7\cos x + 4\sqrt{3}\sin x \cos x - 4\cos^3 x = 0$$ $$\cos x (7 + 4\sqrt{3}\sin x - 4\cos^2 x) = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad 7 + 4\sqrt{3}\sin x - 4(1 - \sin^2 x) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} & \cos x = 0 \\ & 4\sin^2 x + 4\sqrt{3}\sin x + 3 = 0\\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos x = 0 \\ & (2\sin x + \sqrt3)^2 = 0\\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos x = 0 \\ & \sin x = -\frac{\sqrt3}{2}\\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ & x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\\ & x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\\ \end{aligned} \right., k, n \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{5\pi}{2},-\frac{7\pi}{3}, -\frac{3\pi}{2}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k; -\frac{\pi}{3} + 2\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{7\pi}{3}, -\frac{8\pi}{3}, -\frac{3\pi}{2}$

Используем формулу для $\cos 2x$: $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$ Подставим в уравнение: $$3(1 - 2\sin^2 x) - 5\sin x + 1 = 0$$ $$3 - 6\sin^2 x - 5\sin x + 1 = 0$$ $$-6\sin^2 x - 5\sin x + 4 = 0$$ $$6\sin^2 x + 5\sin x - 4 = 0$$ Сделаем замену $t = \sin x \in [-1; 1]$: $$6t^2 + 5t - 4 = 0$$ $$D = 25 + 96 = 121$$ $$t = \frac{-5 \pm 11}{12}$$ $$t = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad t = -\frac{4}{3} \notin [-1; 1]$$ $$\sin x = \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$$

Корень, принадлежащий отрезку: $$\frac{13\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{13\pi}{6}$

Используем формулу приведения: $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x$$ Подставим в уравнение: $$2\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x = 0$$ $$\sin x (2\sin x + \sqrt{3}) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$$ $$-\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$3\pi, \frac{10\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}, 4\pi$$

Ответ: а) $x = \pi k; -\frac{\pi}{3} + 2\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $3\pi, \frac{10\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}, 4\pi$