Уравнения

Используем формулу приведения: $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$$ Подставим в уравнение: $$2\sin^2 x - \sqrt{3}\sin x = 0$$ $$\sin x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$ $$\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$2\pi, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, 3\pi$$

Ответ: а) $x = \pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $2\pi, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, 3\pi$

Используем формулу приведения: $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x$$ Подставим в уравнение: $$2\sin^2 x + 3\sqrt{2}\sin x + 2 = 0$$ Сделаем замену $t = \sin x \in [-1; 1]$: $$2t^2 + 3\sqrt{2}t + 2 = 0$$ $$D = 18 - 16 = 2$$ $$t = \frac{-3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{4}$$ $$t = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{или} \quad t = -\sqrt{2} \notin [-1; 1]$$ $$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}$$ $$-\frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{13\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}$

Используем формулу для $\cos 2x$: $$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$$ Подставим в уравнение: $$2(2\cos^2 x - 1) + 4\sqrt{3}\cos x - 7 = 0$$ $$4\cos^2 x + 4\sqrt{3}\cos x - 9 = 0$$ Сделаем замену $t = \cos x \in [-1; 1]$: $$4t^2 + 4\sqrt{3}t - 9 = 0$$ $$D = 48 + 144 = 192$$ $$t = \frac{-4\sqrt{3} \pm 8\sqrt{3}}{8}$$ $$t = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{или} \quad t = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \notin [-1; 1]$$ $$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$$

Корень, принадлежащий отрезку: $$\frac{23\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{23\pi}{6}$

Раскроем синус суммы: $$\sqrt{2}(\sin 2x \cos\frac{\pi}{4} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{4}) + \sqrt{2}\cos x = \sin 2x - 1$$ $$\sin 2x + \cos 2x + \sqrt{2}\cos x = \sin 2x - 1$$ $$\cos 2x + \sqrt{2}\cos x + 1 = 0$$ Используем формулу для $\cos 2x$: $$2\cos^2 x - 1 + \sqrt{2}\cos x + 1 = 0$$ $$2\cos^2 x + \sqrt{2}\cos x = 0$$ $$\cos x (2\cos x + \sqrt{2}) = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{4}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{4}$

Раскроем синус суммы: $$2\sqrt{3}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{3} + \cos x \sin\frac{\pi}{3}\right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$$ $$\sqrt{3}\sin x + 3\cos x - \cos 2x = 3\cos x - 1$$ $$\sqrt{3}\sin x - \cos 2x + 1 = 0$$ Используем формулу для $\cos 2x$: $$\sqrt{3}\sin x - (1 - 2\sin^2 x) + 1 = 0$$ $$2\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x = 0$$ $$\sin x (2\sin x + \sqrt{3}) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$2\pi, 3\pi, \frac{10\pi}{3}$$

Ответ: а) $\pi k; -\frac{\pi}{3} + 2\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $2\pi, 3\pi, \frac{10\pi}{3}$