Неравенства

Сделаем замену $5^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$(5^3)^x - (5^2)^x + \frac{4\cdot(5^2)^x - 20}{5^x - 5} \leq 4 \Leftrightarrow t^3 - t^2 + \frac{4t^2 - 20}{t - 5} \leq 4$$ $$t^3 - t^2 + \frac{4(t^2 - 5)}{t - 5} - 4 \leq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{(t^3 - t^2)(t - 5) + 4(t^2 - 5) - 4(t - 5)}{(t - 5)} \leq 0$$ Раскроем скобки: $$\frac{t^4 - 5t^3 - t^3 + 5t^2 + 4t^2 - 20 - 4t + 20}{t - 5} \leq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{t^4 - 6t^3 + 9t^2 - 4t}{t - 5} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{t(t^3 - 6t^2 + 9t - 4)}{t - 5} \leq 0$$ $$\frac{t(t - 1)(t^2 -5t + 4)}{t - 5} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{t(t - 1)^2(t - 4)}{t - 5} \leq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-\infty; 0] \cup \{1\} \cup [4; 5)$$ Учитывая, что $t = 5^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &t = 1 \\ &4 \leq t < 5 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &5^x = 1 \\ &4 \leq 5^x < 5 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &\log_5 4 \leq x < 1 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in \{0\} \cup [\log_5 4; 1)$

Сделаем замену $3^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t + 9}{t - 9} + \frac{t - 9}{t + 9} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t + 9)^2 + (t - 9)^2}{(t - 9)(t + 9)} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{t^2 + 18t + 81 + t^2 - 18t + 81}{(t - 9)(t + 9)} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Упростим числитель: $$\frac{2t^2 + 162}{(t - 9)(t + 9)} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{2t^2 + 162 - 12t - 144}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{2t^2 - 12t + 18}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t^2 - 6t + 9)}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t - 3)^2}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0$$

Получаем: $$\left[\begin{aligned} &3^x = 3 \\ &3^x > 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 1 \\ &x > 2 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in \{1\} \cup (2; +\infty)$

Преобразуем исходное неравенство: $$2\cdot4^x \cdot 5^x - 17\cdot2^x \cdot 5^x - 2\cdot2^{3x} + 8\cdot5^x + 17\cdot2^{2x} - 8\cdot2^x \leq 0$$ $$2\cdot2^{2x} \cdot 5^x - 17\cdot2^x \cdot 5^x - 2\cdot2^{3x} + 8\cdot5^x + 17\cdot2^{2x} - 8\cdot2^x \leq 0$$ $$2^{2x}(2\cdot5^x - 2\cdot2^x) - 2^x(17\cdot5^x - 17\cdot2^x) + 8(5^x - 2^x) \leq 0$$ $$(5^x - 2^x)(2\cdot2^{2x} - 17\cdot2^x + 8) \leq 0$$ $$(5^x - 2^x)(2^{x} - 8)(2^{x} - \tfrac{1}{2}) \leq 0$$ Разделим обе части неравенства на $2^x > 0$: $$\left(\frac{5^x}{2^x} - 1\right)(2^{x} - 2^3)\left(2^{x} - 2^{-1}\right) \leq 0 \Leftrightarrow \left(\left(\frac{5}{2}\right)^x - \left(\frac{5}{2}\right)^0\right)(2^{x} - 2^3)(2^{x} - 2^{-1}) \leq 0$$ По методу рационализации: $$\left(\frac{5}{2} - 1\right)(x - 0)(2 - 1)(x - 3)(2 - 1)(x + 1) \leq 0$$ $$x(x - 3)(x + 1) \leq 0$$

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [0; 3]$

Преобразуем исходное неравенство: $$3\cdot3^{2x} \cdot 5^x - 3\cdot3^{3x} - 28\cdot3^x \cdot 5^x + 28\cdot3^{2x} + 9\cdot5^x - 3^x \cdot 3^2 \leq 0$$ $$3\cdot3^{2x}(5^x - 3^{x}) - 28\cdot3^x(5^x - 3^{x}) + 9(5^x - 3^x) \leq 0$$ $$(5^x - 3^{x})(3\cdot3^{2x} -28\cdot3^x + 9) \leq 0$$ $$(5^x - 3^{x})(3^x - 9)(3^x - \tfrac{1}{3}) \leq 0$$ Разделим обе части уравнения на $3^x > 0$: $$((\tfrac{5}{3})^x - 1)(3^x - 9)(3^x - \tfrac{1}{3}) \leq 0 \Leftrightarrow ((\tfrac{5}{3})^x - (\tfrac{5}{3})^0)(3^x - 3^2)(3^x - 3^{-1}) \leq 0$$ По методу рационализации: $$(\tfrac{5}{3} - 1)(x - 0)(3 - 1)(x - 2)(3 - 1)(x + 1) \leq 0$$ $$x(x - 2)(x + 1) \leq 0$$

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [0; 2]$

Преобразуем исходное неравенство: $$\frac{1}{2^x - 1} + \frac{2\cdot4^{x} - 32\cdot2^{x} + 4}{2^x - 16} \geq 2\cdot2^{x}$$

Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{1}{t - 1} + \frac{2t^2 - 32t + 4}{t - 16} \geq 2t$$

Перенесём все слагаемые в левую часть:

$$\frac{1}{t - 1} + \frac{2t^2 - 32t + 4}{t - 16} - 2t \geq 0$$ $$\frac{(t - 16) + (2t^2 - 32t + 4)(t - 1) - 2t(t - 1)(t - 16)}{(t - 1)(t - 16)} \geq 0$$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$$\frac{t - 16 + 2t^3 - 2t^2 - 32t^2 + 32t + 4t - 4 - 2t^3 + 32t^2 + 2t^2 - 32t}{(t - 1)(t - 16)} \geq 0$$ $$\frac{5t - 20}{(t - 1)(t - 16)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{5(t - 4)}{(t - 1)(t - 16)} \geq 0$$

Решение неравенства:

$$t \in (1; 4] \cup (16; +\infty) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} t > 1\\ t \leq 4 \end{cases}\\ &t > 16 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 2^x > 1\\ 2^x \leq 4 \end{cases}\\ &2^x > 16 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x > 0\\ x \leq 2 \end{cases}\\ &x > 4 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (0; 2] \cup (4; +\infty)$