Неравенства

Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{7}{t - 32} \geq \frac{1}{t - 8}$$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{7}{t - 32} - \frac{1}{t - 8} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{7(t - 8) - (t - 32)}{(t - 32)(t - 8)} \geq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{7t - 56 - t + 32}{(t - 32)(t - 8)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{6t - 24}{(t - 32)(t - 8)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{6(t - 4)}{(t - 32)(t - 8)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \in [4; 8) \cup (32; +\infty)$$ Учитывая, что $t = 2^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &4 \leq t < 8 \\ &t > 32 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &4 \leq 2^x < 8 \\ &2^x > 32 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &2 \leq x < 3 \\ &x > 5 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in [2; 3) \cup (5; +\infty)$

Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t^2 + 7t - 48}{t - 32} \leq 1$$ Перенесём 1 в левую часть: $$\frac{t^2 + 7t - 48 - (t - 32)}{t - 32} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 + 6t - 16}{t - 32} \leq 0$$ Разложим числитель на множители: $$\frac{(t + 8)(t - 2)}{t - 32} \leq 0$$

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} & t \leq -8 \\ & 2\leq t < 32 \end{aligned}\right.$$ Учитывая, что $t = 2^x > 0$, получаем: $$\begin{cases} t \geq 2\\ t < 32 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2^x \geq 2\\ 2^x < 32 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 1\\ x < 5 \end{cases}$$

Ответ: $x \in [1; 5)$

Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{2}{3^x + 27} - \frac{1}{3^x - 27} \geq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{2(3^x - 27) - (3^x + 27)}{(3^x + 27)(3^x - 27)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{3^x - 81}{9^x - 729} \geq 0$$ Сделаем замену $3^x = t > 0$: $$\frac{t - 81}{t^2 - 729} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t - 81}{(t - 27)(t + 27)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &t \geq 81\\ &\begin{cases} t > -27\\ t < 27 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &3^x \geq 3^4\\ &\begin{cases} 3^x > -27\\ 3^x < 3^3 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \geq 4\\ &x < 3 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup [4; + \infty)$

Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t^2 - 6t - 20}{t - 32} \geq 1$$ Перенесём 1 в левую часть: $$\frac{t^2 - 6t - 20 - (t - 32)}{t - 32} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 7t + 12}{t - 32} \geq 0$$ Разложим числитель на множители: $$\frac{(t - 3)(t - 4)}{t - 32} \geq 0$$

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &3 \leq t \leq 4 \\ &t > 32 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &3 \leq 2^x \leq 4 \\ &2^x > 32 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_2 3 \leq x \leq 2 \\ &x > 5 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in [\log_2 3; 2] \cup (5; +\infty)$

Прологарифмируем обе части по основанию 4, так как левая часть неравенства положительна при любом $x$: $$\log_4(4^{x^2}\cdot7^{x - 1}) \geq \log_4 4$$ $$x^2 + (x - 1)\log_4 7 \geq 1$$ $$x^2 + x\log_4 7 - \log_4 7 - 1 \geq 0$$ $$x^2 + x\log_4 7 - (1 + \log_4 7) \geq 0$$ Разложим на множители: $$x^2 - 1 + x\log_4 7 -\log_4 7 \geq 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 1) + x\log_4 7 -\log_4 7 \geq 0$$ $$(x - 1)(x + 1) + \log_4 7(x - 1) \geq 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 1+ \log_4 7) \geq 0$$

Решение неравенства: $$x \leq -1 - \log_4 7 \quad \text{или} \quad x \geq 1$$

Ответ: $x \in (-\infty; -1 - \log_4 7] \cup [1; +\infty)$