Неравенства

Преобразуем исходное неравенство: $$3^{2x} \cdot 5^x - 3^{3x} - 18 \cdot 3^x \cdot 5^x + 18 \cdot 3^{2x} + 81 \cdot 5^x - 81 \cdot 3^x \leq 0$$ $$3^{2x}(5^x - 3^x) - 18 \cdot 3^x(5^x - 3^x) + 81(5^x - 3^x) \leq 0$$ $$(5^x - 3^x)(3^{2x} - 18 \cdot 3^x + 81) \leq 0$$ $$(5^x - 3^x)(3^x - 9)^2 \leq 0$$

Разделим обе части неравенства на $3^x > 0$: $$\left(\left(\frac{5}{3}\right)^x - 1\right)(3^x - 9)^2 \leq 0 \Leftrightarrow \left(\left(\frac{5}{3}\right)^x - \left(\frac{5}{3}\right)^0\right)(3^x - 3^2)^2 \leq 0$$

По методу рационализации: $$\left(\frac{5}{3} - 1\right)(x - 0)(3 - 1)^2(x - 2)^2 \leq 0$$ $$\frac{2}{3} \cdot x \cdot 4 \cdot (x - 2)^2 \leq 0$$ $$x(x - 2)^2 \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; 0] \cup \{2\}$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup \{2\}$

Преобразуем неравенство: $$6^{x^2} - 4^x \cdot 3^{x^2} \leq 81 \cdot 2^{x^2} - 81 \cdot 4^x$$ $$(2 \cdot 3)^{x^2} - 4^x \cdot 3^{x^2} \leq 81(2^{x^2} - 4^x)$$ $$2^{x^2} \cdot 3^{x^2} - 4^x \cdot 3^{x^2} \leq 81(2^{x^2} - 4^x)$$ $$3^{x^2}(2^{x^2} - 4^x) \leq 81(2^{x^2} - 4^x)$$ $$(3^{x^2} - 81)(2^{x^2} - 4^x) \leq 0$$ По методу рационализации: $$(3^{x^2} - 3^4)(2^{x^2} - 2^{2x}) \leq 0$$ $$(x^2 - 4)(x^2 - 2x) \leq 0$$ $$(x - 2)(x + 2)x(x - 2) \leq 0$$ $$(x + 2)x(x - 2)^2 \leq 0$$

Ответ: $x \in [-2; 0] \cup \{2\}$

Сделаем замену $8^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{\frac{1}{4}t}{\frac{1}{4}t - 1} \geq \frac{3}{t - 1} + \frac{8}{t^2 - 5t + 4} \Leftrightarrow \frac{t}{t - 4} \geq \frac{3}{t - 1} + \frac{8}{(t - 1)(t - 4)}$$ $$\frac{t(t - 1) - 3(t - 4) - 8}{(t - 1)(t - 4)} \geq 0$$ Раскроем скобки и упростим числитель: $$\frac{t^2 - t - 3t + 12 - 8}{(t - 1)(t - 4)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 4t + 4}{(t - 1)(t - 4)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(t - 2)^2}{(t - 1)(t - 4)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &t > 4 \\ &t = 2 \\ &\begin{cases} t > 0 \\ t < 1 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &8^x > 4 \\ &8^x = 2 \\ &\begin{cases} 8^x > 0 \\ 8^x < 1 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &8^x > 8^{\frac{2}{3}} \\ &8^x = 8^{\frac{1}{3}} \\ &\begin{cases} 8^x > 0 \\ 8^x < 8^0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x > \frac{2}{3} \\ &x = \frac{1}{3} \\ &x < 0 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup \left\{\frac{1}{3}\right\} \cup \left(\frac{2}{3}; +\infty\right)$

Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t + 8}{t - 8} + \frac{t - 8}{t + 8} \geq \frac{16t + 96}{t^2 - 64}$$ Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t + 8)^2 + (t - 8)^2}{(t - 8)(t + 8)} \geq \frac{16t + 96}{t^2 - 64}$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{t^2 + 16t + 64 + t^2 - 16t + 64}{(t - 8)(t + 8)} \geq \frac{16t + 96}{t^2 - 64}$$ Упростим числитель: $$\frac{2t^2 + 128}{(t - 8)(t + 8)} \geq \frac{16t + 96}{t^2 - 64}$$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{2t^2 + 128 - 16t - 96}{(t - 8)(t + 8)} \geq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{2t^2 - 16t + 32}{(t - 8)(t + 8)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t^2 - 8t + 16)}{(t - 8)(t + 8)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t - 4)^2}{(t - 8)(t + 8)} \geq 0$$

Получаем: $$\left[\begin{aligned} &2^x = 4 \\ &2^x > 8 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 2 \\ &x > 3 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in \{2\} \cup (3; +\infty)$

Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$1 + \frac{11}{t - 8} + \frac{28}{t^2 - 16t + 64} \geq 0$$ Приведём все слагаемые к общему знаменателю: $$\frac{(t - 8)^2 + 11(t - 8) + 28}{(t - 8)^2} \geq 0$$ Раскроем скобки и упростим числитель: $$\frac{t^2 - 16t + 64 + 11t - 88 + 28}{(t - 8)^2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 5t + 4}{(t - 8)^2} \geq 0$$ Разложим числитель на множители: $$\frac{(t - 1)(t - 4)}{(t - 8)^2} \geq 0$$

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &t \leq 1\\ &\begin{cases} t \geq 4\\ t \neq 8 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &2^x \leq 1\\ &\begin{cases} 2^x \geq 4\\ 2^x \neq 8 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \leq 0\\ &\begin{cases} x \geq 2\\ x \neq 3 \end{cases} \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [2;3) \cup(3; +\infty)$