Неравенства

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который, в свою очередь, равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.

Многогранник $ABCB_1$ представляет собой треугольную пирамиду с основанием $ABC$ и высотой $h=BB_1=AA_1$. Объем такой пирамиды можно вычислить по формуле:

$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h,$$ где

$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}AB\cdot BC,$$ так как треугольник $ABC$ является прямоугольным. Таким образом,

$$V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot AA_1=6.$$

Выполним преобразования:

$$36\sqrt{6}\,\mathrm{tg}\,\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{4} = 36\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 36.$$

Найдём, при каком ускорении автомобиль приобретает скорость $80$ км/ч. Задача сводится к решению уравнения

$$v=\sqrt{2la}$$ при заданном значении расстояния $l_0=0{,}5$ км:

$$\sqrt{2\cdot 0{,}5a}=80 \Leftrightarrow a=6400.$$

Пусть $u$ км/ч — скорость течения, тогда скорость теплохода по течению равна $15+u$ км/ч, а скорость теплохода против течения равна $15-u$ км/ч. На весь путь теплоход затратил $40-10=30$ часов, отсюда имеем:

$$\frac{200}{15-u}+\frac{200}{15+u}=30 \Leftrightarrow \frac{200\cdot 15\cdot 2}{225-u^2}=30 \Leftrightarrow \frac{200}{225-u^2}=1,\quad 0<u<15 \Leftrightarrow 200=225-u^2 \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow u^2=25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u=5;\\ u=-5 \end{array} \right. \quad u>0 \Leftrightarrow u=5.$$

Таким образом, скорость течения реки равна 5 км/ч.