Неравенства

а) Обозначим длину трети стороны $AB$ через $c$, длину трети стороны $BC$ через $b$. По свойству касательной $BL \cdot BK = l^2 = BM \cdot BN$, где $l$ — длина касательной к окружности из точки $B$. Тогда $2b \cdot b = 2c \cdot c \Rightarrow b = c \Rightarrow \triangle ABC$ — равнобедренный.

б) Введем новые обозначения. Мы доказали, что треугольник равнобедренный, обозначим треть его боковой стороны через $a$. По свойству касательной

$$AB_1^2 = AK \cdot AL,\qquad CB_1^2 = CN \cdot CM.$$ Тогда

$$CB_1^2 = AB_1^2 = 2a^2 \Rightarrow CB_1 = AB_1 = a\sqrt{2}.$$ Пусть $p$ — полупериметр $\triangle ABC$: $p = 3a + a\sqrt{2}$. Запишем площадь треугольника $ABC$ двумя способами

$$\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = S_{ABC} = \frac12\,BC\cdot AH$$

$$AH=\frac{2\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}}{BC} =\frac{2\sqrt{(3a+a\sqrt{2})(a\sqrt{2})^2(3a-a\sqrt{2})}}{3a} =\frac{2a^2\sqrt{14}}{3a} =\frac{2a\sqrt{14}}{3}$$ По теореме Пифагора для $\triangle ABH$

$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{9a^2-\frac{56}{9}a^2}=\frac53a \Rightarrow CH=\frac43a \Rightarrow \frac{BH}{CH}=\frac54$$

Ответ: б) 5:4.

Кредит взят на 15 лет, размер кредита равен $S = 6$ млн рублей.

Так как платеж дифференцированный, каждый год сумма долга уменьшается на

$$\frac{S}{15} = \frac{6}{15} = 0,4 \text{ млн рублей.}$$

Составим таблицу, учитывая, что значение в столбце «Выплата» вычисляется как разность соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты» за этот год.

Размер выплаты за $k+1$-й год можно найти по формуле

$$0,4 + (S - 0,4 \cdot k)\cdot \frac{x}{100} = 0,4 + (6 - 0,4 \cdot k)\cdot \frac{x}{100} = 0,4 + \frac{6x}{100} - \frac{0,4kx}{100}$$

Известно, что наибольший платеж составит не более $1,9$ млн рублей. При этом из формулы для выплаты видно, что платеж наибольший, когда $k$ — минимально возможное, то есть $k + 1 = 1$; $k = 0$. Подставим это значение и получим неравенство:

$$0,4 + \frac{6x}{100} \le 1,9$$

$$\frac{6x}{100} \le 1,5$$

$$6x \le 150$$

$$x \le \frac{150}{6} = 25$$

Также известно, что наименьший платеж составил не менее $0,5$ млн рублей. При этом из формулы для выплаты видно, что платеж наименьший, когда $k$ — максимально возможное, то есть $k + 1 = 15$; $k = 14$. Подставим это значение и получим неравенство:

$$0,4 + \frac{6x}{100} - \frac{0,4 \cdot 14x}{100} \ge 0,5$$

$$\frac{6x - 5,6x}{100} \ge 0,1$$

$$0,4x \ge 10$$

$$x \ge \frac{100}{4} = 25$$

Итак, получили, что с одной стороны $x$ не больше 25, а с другой — не меньше 25, то есть $x = 25$.

Ответ: 25

Уравнение равносильно системе

$$\begin{cases} x^2-4x+a=0 \\ 5x^2-6ax+a^2\ne 0 \end{cases}$$

Решением данной системы будут корни первого уравнения, не являющиеся корнями уравнения $5x^2-6ax+a^2=0$. Найдем те значения параметра, при которых первое уравнение имеет два решения, то есть когда его дискриминант положителен:

$$D=4^2-4a>0 \Leftrightarrow a<4$$

Теперь, исключив среди найденных значений параметра те, при которых оба уравнения имеют хотя бы один общий корень, найдем нужные нам значения параметра.

Два уравнения имеют хотя бы одно общее решение, если система из этих уравнений имеет хотя бы одно решение. Эту систему будем решать как обычную систему с двумя уравнениями и двумя неизвестными:

$$\begin{cases} x^2-4x+a=0 \\ 5x^2-6ax+a^2=0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} a=-x^2+4x \\ 5x^2+6x(x^2-4x)+(x^2-4x)^2=0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} a=-x^2+4x \\ x^2(x^2-2x-3)=0 \end{cases}$$

Отсюда получаем корни $x=0$; $-1$; $3$, при которых получаем $a=0$; $-5$; $3$.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

$$a\in(-\infty;4)\setminus\{-5;0;3\}.$$

Ответ:

$$a\in(-\infty;-5)\cup(-5;0)\cup(0;3)\cup(3;4)$$

а) Стороны склада — целые числа, и его объем 120 делится на 3, поэтому есть сторона, длина которой кратна 3. Обозначим ее длину через $3m$. Тогда выложим $m$ контейнеров с размерами $1\times 1\times 3$ м длинной стороной вдоль стены с длиной $3m$. Длины остальных сторон склада делятся на длины других сторон контейнеров, так как любое целое число делится на 1. Тогда аналогичным образом продолжим выкладывать контейнеры и заполним такими операциями весь склад. Значит, склад размером 120 кубометров точно можно заполнить данными контейнерами.

б) Попробуем построить пример. Для того чтобы не пришлось рассматривать много случаев, возьмем такой склад, в который можно поместить контейнеры только одним способом. То есть все стороны должны быть меньше 6. Если возьмем склад размером $2\times 2\times 25$ м, то сторона длины 3 м любого из уложенных контейнеров должна быть параллельна стороне длины 25 м склада. Мысленно разделим склад на четыре полосы размерами $1\times 1\times 25$. В каждую из них можно поместить не более 8 контейнеров. Возможно, некоторые контейнеры будут лежать в нескольких полосах одновременно. Но в любом случае максимальное количество уникальных контейнеров, которые можно разместить на складе $2\times 2\times 25$, равно $8\cdot 4=32$. Значит, поместить 33 контейнера не удается.

в) Рассмотрим склад размером $2\times 2\times 200$. Вдоль стен со сторонами 2 м не получится класть контейнеры стороной 3 м, значит, сторона 3 м у контейнера будет лежать вдоль стены 200 м. То есть по соображениям из пункта б) на такой склад поместится максимум $66\cdot 4=264$ контейнера. Тогда останется свободным хотя бы

$$2\cdot 2\cdot 200 - 264\cdot 3 = 800 - 792 = 8$$

кубометров объема, то есть 1% склада. Значит, более чем 99% объема склада гарантированно заполнить не удастся.

Теперь докажем, что хотя бы 99% объема при любой другой конфигурации склада заполнить получится. Пусть дан склад размером $x\times y\times z$ и сторона $x\ge 3$. Тогда можем мысленно отделить часть склада со стороной 3 м и останется объем $(x-3)\times y\times z$, а часть склада $3\times y\times z$ можно полностью заполнить контейнерами с помощью алгоритма из пункта а). Такую операцию можно делать с любой стороной склада, длина которой не меньше 3. Тогда будем продолжать отрезать части склада со стороной 3 м до тех пор, пока не останется параллелепипед с измерениями, не превосходящими $2\times 2\times 2$. Получим, что пустует максимум 8 кубометров из 800, то есть максимум 1%. Таким образом, хотя бы 99% объема при любой конфигурации склада получится заполнить.

Ответ: а) Нет б) Да в) 99%

За 8 недель в офисе расходуется $700 \cdot 8 = 5600$ листов бумаги. Разделим $5600$ на $250$:

$$\frac{5600}{250}=\frac{112}{5}=22\frac{2}{5}.$$

Значит, нужно купить не меньше $23$ пачек бумаги.