Неравенства

Долг взят в июле 2020 года, то есть в этот год не происходит начисление процентов и выплаты по кредиту не производятся.

Кредит выплачен тремя равными платежами, тогда обозначим сумму выплаты за каждый год за $S_1$.

Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что значение в столбце «Сумма долга после выплаты» будет равно разности соответствующих значений по столбцам «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».

По условию кредит погашен за 3 года, то есть сумма долга после выплаты за 2023 год равна 0. Запишем это в виде уравнения:

$$1,3 \cdot (1,3 \cdot (1,3S - S_1) - S_1) - S_1 = 0$$

$$1,3^3 \cdot S - 1,3^2 \cdot S_1 - 1,3 \cdot S_1 - S_1 = 0$$

Отсюда выразим $S$ :

$$S = S_1 \cdot \frac{1 + 1,3 + 1,3^2}{1,3^3} = S_1 \cdot \frac{2,3 + 1,69}{2,197} = S_1 \cdot \frac{3,99}{2,197}$$

Из условия общая сумма выплат будет на 78030 рублей больше суммы взятого кредита, то есть

$$S_1 + S_1 + S_1 = S + 78030$$

$$S_1 = \frac{S}{3} + \frac{78030}{3} \Leftrightarrow S_1 = \frac{S}{3} + 26010$$

Подставим $S_1$ в выражение для суммы кредита:

$$S = \left(\frac{S}{3} + 26010\right)\cdot \frac{3,99}{2,197}$$

$$S - \frac{S}{3} \cdot \frac{3,99}{2,197} = 26010 \cdot \frac{3,99}{2,197}$$

$$S \cdot \left(1 - \frac{1,33}{2,197}\right) = 26010 \cdot \frac{3,99}{2,197}$$

$$S \cdot \frac{2,197 - 1,33}{2,197} = \frac{26010 \cdot 3,99}{2,197}$$

$$S \cdot \frac{0,867}{2,197} = \frac{26010 \cdot 3,99}{2,197}$$

$$S = \frac{26010 \cdot 3,99}{0,867} = 30000 \cdot 3,99 = 119700$$

Таким образом, сумма кредита составит 119 700 рублей.

Ответ: 119 700 рублей

Преобразуем исходное уравнение:

$$\frac{9x^2-a^2}{x^2+8x+16-a^2}=0 \Leftrightarrow \begin{cases} 9x^2-a^2=0 \\ x^2+8x+16-a^2 \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2=9x^2 \\ a^2 \ne (x+4)^2 \end{cases}$$

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x_0; a_0)$ принадлежит этому множеству $S$, то для исходной задачи это означает, что, если параметр $a$ принимает значение $a_0$, то $x_0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения для параметра $a$, при каждом из которых ровно две точки вида $(x_0; a_0)$, где $x_0 \in \mathbb{R}$, принадлежат множеству решений $S$, изображенному на плоскости $xOa$. Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a=a_0$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S$.

Построим на плоскости множество решений первого уравнения, затем найдем точки, удовлетворяющие условию $a^2=(x+4)^2$, и исключим их.

• Преобразуем первое уравнение: $$a^2=9x^2 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} a=3x \\ a=-3x \end{aligned} \right.$$ Значит, множество решений первого уравнения системы состоит из точек двух прямых $f_1(x)=3x$ и $f_2(x)=-3x$.
• Второе условие $a^2 \ne (x+4)^2$ системы задает всю плоскость, кроме точек, которые удовлетворяют условию $a^2=(x+4)^2$. Преобразуем данное уравнение: $$a^2=(x+4)^2 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} a=x+4 \\ a=-x-4 \end{aligned} \right.$$ Значит, уравнение $a^2=(x+4)^2$ задает две функции $g_1(x)=x+4$ и $g_2(x)=-x-4$ в плоскости $xOa$, графиками которых являются прямые. Тогда второе условие системы задает всю плоскость, кроме точек двух прямых $g_1(x)=x+4$ и $g_2(x)=-x-4$.

Чтобы построить графики, нам нужно найти точки пересечения указанных выше прямых.

• Если $f_1(x)$ и $g_1(x)$ пересекаются в какой-то точке $A=(x_1; a_1)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_1=3x_1 \\ a_1=x_1+4 \end{cases} \Rightarrow 3x_1=x_1+4$$ $$2x_1=4 \Leftrightarrow x_1=2 \Rightarrow a_1=6$$
• Если $f_1(x)$ и $g_2(x)$ пересекаются в какой-то точке $B=(x_2; a_2)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_2=3x_2 \\ a_2=-x_2-4 \end{cases} \Rightarrow 3x_2=-x_2-4$$ $$4x_2=-4 \Leftrightarrow x_2=-1 \Rightarrow a_2=-3$$
• Если $f_2(x)$ и $g_1(x)$ пересекаются в какой-то точке $C=(x_3; a_3)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_3=-3x_3 \\ a_3=x_3+4 \end{cases} \Rightarrow -3x_3=x_3+4$$ $$-4x_3=4 \Leftrightarrow x_3=-1 \Rightarrow a_3=3$$
• Если $f_2(x)$ и $g_2(x)$ пересекаются в какой-то точке $D=(x_4; a_4)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_4=-3x_4 \\ a_4=-x_4-4 \end{cases} \Rightarrow -3x_4=-x_4-4$$ $$-2x_4=-4 \Leftrightarrow x_4=2 \Rightarrow a_4=-6$$
• Если $f_1(x)$ и $f_2(x)$ пересекаются в какой-то точке $O=(x_5; a_5)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_5=3x_5 \\ a_5=-3x_5 \end{cases} \Rightarrow 3x_5=-3x_5$$ $$x_5=0 \Rightarrow a_5=0$$
• Если $g_1(x)$ и $g_2(x)$ пересекаются в какой-то точке $S=(x_6; a_6)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_6=x_6+4 \\ a_6=-x_6-4 \end{cases} \Rightarrow x_6+4=-x_6-4$$ $$2x_6=-8 \Leftrightarrow x_6=-4 \Rightarrow a_6=0$$

Теперь можем построить графики:

Заметим, что горизонтальные прямые $a=6$, $a=3$, $a=0$, $a=-3$ и $a=-6$ имеют ровно одну точку пересечения с $S$. Все остальные горизонтальные прямые имеют ровно две точки пересечения с $S$. Значит, исходное уравнение имеет ровно два решения при

$$a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup (6; +\infty)$$

Ответ:

$$a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup (6; +\infty)$$

Да, вот в таком же виде, ничего не изменяя: а) Если сумма равна 107, то возможные по условию задачи слагаемые не могут быть больше 99, то есть варианты следующие:

$$4, \ 9, \ 44, \ 49, \ 94, \ 99$$

Теперь нужно попробовать составить пример из приведённых выше вариантов, причём использовать каждое число можно максимум один раз. Методом проб и ошибок находим один из примеров

$$4 + 9 + 94 = 107$$

Значит, сумму 107 получить можно.

б) Если сумма равна 289, то варианты слагаемых следующие:

$$4, \ 9, \ 44, \ 49, \ 94, \ 99$$

При этом использование больших чисел даст сумму больше нужной. Заметим, что если участвуют все числа из списка, то сумма получится больше чем 289 :

$$4 + 9 + 44 + 49 + 94 + 99 = 299 > 289$$

Чтобы получить 289, нужно не использовать некоторые слагаемые так, чтобы их сумма была равна 10. Но сумму 10 из различных чисел 4, 9, 44, 49, 94, 99 составить нельзя. При этом если не использовать какие-то слагаемые, то сумма будет ещё меньше. Значит, сумму 289 получить нельзя.

в) Если сумма равна 3986, то варианты слагаемых следующие:

$$4, \ 9, \ 44, \ 49, \ 94, \ 99, \ 444, \ 449, \ 494, \ 499, \ 944, \ 949, \ 994, \ 999$$

При этом использование больших чисел даст сумму больше нужной. Заметим, что все числа на доске имеют остаток 4 при делении на 5. Значит, остаток при делении на 5 суммы всех чисел на доске равен остатку числа $4m$ при делении на 5, где $m$ — количество чисел на доске. Число 3986 дает остаток 1 при делении на 5. Тогда количество слагаемых должно иметь вид $m = 5n + 4$, так как только так число $4m$ дает остаток 1 при делении на 5. Четырёх слагаемых недостаточно, так как сумма четырёх наибольших возможных чисел равна

$$999 + 994 + 949 + 944 = 3886 < 3986$$

А вот 9 слагаемых уже добиться возможно:

$$994 + 949 + 499 + 494 + 449 + 444 + 99 + 49 + 9 = 3986$$

Значит, наименьшее количество чисел на доске равно 9.

Ответ:

а) Да

б) Нет

в) 9

В октябре виноград подорожал на 60 · 0,25  =  15 рублей и стал стоить 60 + 15  =  75 рублей. В ноябре виноград подорожал на 75 · 0,2  =  15 рублей. Значит, после подорожания в ноябре 1 кг винограда стоил 75 + 15  =  90 рублей.

Из диаграммы видно, что было 7 месяцев с температурой выше нуля (см. рис.).