Неравенства

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, а объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Поскольку они имеют общее основание и высоту, объем цилиндра в три раза больше объема конуса.

Выполним преобразования:

$$\frac{24(\sin^2 17^\circ-\cos^2 17^\circ)}{\cos 34^\circ}= \frac{24(-\cos 34^\circ)}{\cos 34^\circ}=-24.$$

Обозначим $x$ — количество литров воды, пропускаемой первой трубой в минуту, тогда вторая труба пропускает $x+1$ литров воды в минуту. Резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба, отсюда имеем:

$$\frac{110}{x}-\frac{110}{x+1}=1 \Leftrightarrow \frac{110}{x^2+x}=1 \Leftrightarrow 110=x^2+x \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow x^2+x-110=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x=10,\\ x=-11 \end{cases} \Leftrightarrow x=10.$$

Таким образом, первая труба пропускает 10 литров воды в минуту.

1. Ограничения: $x+5>0 \Rightarrow x>-5$

2. Найдём производную: $$y' = \frac{5}{x+5} - 5 = \frac{5-5(x+5)}{x+5} = \frac{-5x-20}{x+5}$$

3. Найдём нули производной: $$\frac{-5x-20}{x+5} = 0 \Rightarrow x = -4$$

4. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $(-5,-4]$, убывает на $[-4,+\infty)$, следовательно точка максимума $x=-4$.

Решение:

а) Распишем косинус по формуле двойного угла $$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$$

Тогда уравнение примет вид $$4\cos^3 x - 2\sqrt{3}\,(2\cos^2 x - 1) + 3\cos x = 2\sqrt{3}$$ $$4\cos^3 x - 4\sqrt{3}\cos^2 x + 2\sqrt{3} + 3\cos x = 2\sqrt{3}$$ $$4\cos^3 x - 4\sqrt{3}\cos^2 x + 3\cos x = 0$$ $$\cos x\,(4\cos^2 x - 4\sqrt{3}\cos x + 3) = 0$$ $$\cos x\,(2\cos x - \sqrt{3})^2 = 0$$ $$\left\{ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ 2\cos x - \sqrt{3} = 0 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right.$$ $$\left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\; k \in Z\\ x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in Z\\ x = \dfrac{11\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in Z \end{array} \right.$$

б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств.

1. $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$: $$2\pi \le \dfrac{\pi}{2} + \pi k \le \dfrac{7\pi}{2} \Longleftrightarrow 2 \le \dfrac{1}{2} + k \le \dfrac{7}{2} \Longleftrightarrow \dfrac{3}{2} \le k \le \dfrac{6}{2}$$ $$\left[ \begin{array}{l} k = 2\\ k = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi\\ x = \dfrac{\pi}{2} + 3\pi \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{5\pi}{2}\\ x = \dfrac{7\pi}{2} \end{array} \right.$$

2. $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$: $$2\pi \le \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \le \dfrac{7\pi}{2} \Longleftrightarrow 2 \le \dfrac{1}{6} + 2k \le \dfrac{7}{2} \Longleftrightarrow \dfrac{11}{6} \le 2k \le \dfrac{20}{6}$$ $$\dfrac{11}{12} \le k \le \dfrac{10}{12} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{13\pi}{6}$$

3. $x = \dfrac{11\pi}{6} + 2\pi k$: $$2\pi \le \dfrac{11\pi}{6} + 2\pi k \le \dfrac{7\pi}{2} \Longleftrightarrow 2 \le \dfrac{11}{6} + 2k \le \dfrac{7}{2}$$ $$\dfrac{1}{6} \le 2k \le \dfrac{10}{6} \Longleftrightarrow \dfrac{1}{12} \le k \le \dfrac{10}{12} \Rightarrow k \in \varnothing$$

Ответ:

а) $\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\; \dfrac{\pi}{2} + \pi k;\; \dfrac{11\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in Z$

б) $\dfrac{5\pi}{2};\; \dfrac{13\pi}{6};\; \dfrac{7\pi}{2}$