Неравенства

а) Заметим, что сумма цифр имеет такой же остаток при делении на 3, как и само число. Следовательно, все написанные на доске числа имеют одинаковый остаток при делении на 3. Приведем пример, где числа имеют остаток 2 при делении на 3: 2009, 11 (сумма цифр числа 2009) и 2 (сумма цифр числа 11). Их сумма действительно равна 2022. Следовательно, ответ: да, может.

б) Так как все три числа имеют одинаковый остаток при делении на 3, то их сумма делится на 3. Но число 2021 на 3 не делится (по признаку делимости на 3: сумма его цифр равна 5, что не делится на 3). Следовательно, ответ: нет, не может.

в) Заметим, что сумма цифр любого трехзначного числа не превосходит 27 (трехзначное число с максимальными цифрами, — это 999). Сумма цифр числа, не превосходящего 27, может быть равна числу 2 только для чисел 2, 11 или 20. Так как все три числа, написанные на доске, различны, то второе число может равняться либо 11, либо 20. Таким образом, общее количество подходящих троек равно сумме числа троек, где второе число равно 11, а третье равно 2, и числа троек, где второе число равно 20, а третье равно 2.

Найдем количество трехзначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 11.

Если первая цифра числа равна 1, то таких чисел девять: 119, 128, 137, 146, 155, 164, 173, 182, 191. Если первая цифра числа равна 2, то таких чисел десять: 209, 218, 227, 236, 245, 254, 263, 272, 281, 290. Если первая цифра числа равна 3, то таких чисел девять: 308, 317, 326, 335, 344, 353, 362, 371, 380. Если первая цифра числа равна 4, то таких чисел восемь: 407, 416, 425, 434, 443, 452, 461, 470. Если первая цифра числа равна 5, то таких чисел семь: 506, 515, 524, 533, 542, 551, 560. Если первая цифра числа равна 6, то таких чисел шесть: 605, 614, 623, 632, 641, 650. Если первая цифра числа равна 7, то таких чисел пять: 704, 713, 722, 731, 740. Если первая цифра числа равна 8, то таких чисел четыре: 803, 812, 821, 830. Если первая цифра числа равна 9, то таких чисел три: 902, 911, 920. Таким образом, количество трехзначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 11, равно

$9+ 10+ 9+ 8+ 7 +6 +5 +4 +3 = 9 + \frac{10+3}{2}\cdot 8 = 9 + 13 \cdot 4 = 61$

Найдем количество трехзначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 20.

Если первая цифра числа равна 1, то таких чисел нет (так как сумма двух оставшихся цифр максимум может быть равна 9+ 9= 18< 19 ). Если первая цифра числа равна 2, то такое число одно: 299. Если первая цифра числа равна 3, то таких чисел два: 398, 389. Если первая цифра числа равна 4, то таких чисел три: 497, 488, 479. Если первая цифра числа равна 5, то таких чисел четыре: 596, 587, 578, 569. Если первая цифра числа равна 6, то таких чисел пять: 695, 686, 677, 668, 659. Если первая цифра числа равна 7, то таких чисел шесть: 794, 785, 776, 767, 758, 749. Если первая цифра числа равна 8, то таких чисел семь: 893, 884, 875, 866, 857, 848, 839. Если первая цифра числа равна 9, то таких чисел восемь: 992, 983, 974, 965, 956, 947, 938, 929. Таким образом, получаем, что количество трехзначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 20, равно

$1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8 = \frac{1+8}{2} \cdot 8 = 9 \cdot 4 = 36.$ Следовательно, искомое количество троек равно 61+ 36= 97.

Ответ: а) Да

б) Нет

в) 97

Найдем корень уравнения:

$$\sqrt{53-4x}=7 \Leftrightarrow 53-4x=49 \Leftrightarrow 4x=53-49 \Leftrightarrow 4x=4 \Leftrightarrow x=1.$$

Всего в соревнованиях принимает участие 9 + 7 + 8 + 11  =  35 спортсменов. Значит, вероятность того, что спортсмен, который выступает первым, окажется из Чехии, равна $\frac{7}{35} = 0,2.$

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности, следовательно,

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}(180^\circ-\angle AOD)=\frac{1}{2}\cdot 58^\circ=29^\circ.$$

Выполним преобразования: $$\frac{2\sin 136^\circ}{\sin 68^\circ \cdot \sin 22^\circ} =\frac{4\sin 68^\circ \cos 68^\circ}{\sin 68^\circ \sin 22^\circ} =\frac{4\cos 68^\circ}{\sin 22^\circ} =\frac{4\cos(90^\circ-22^\circ)}{\sin 22^\circ} =\frac{4\sin 22^\circ}{\sin 22^\circ}=4.$$