Неравенства

Объем конуса равен $V=\frac{1}{3}Sh$, где $S$ — площадь основания конуса, а $h$ — высота. Если радиус основания конуса останется прежним, значит, площадь его основания не изменится. В таком случае, при уменьшении высоты в 9 раз объем конуса также уменьшится в 9 раз.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках $A(-2;\,-2)$, $B(-2;\,-4)$, $C(-6;\,-4)$. Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу $ACB$. Поэтому

$$y'(x_0)=\tg\angle ACB=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=0,5.$$

Задача сводится к решению уравнения

$$\alpha \nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1}=22350$$ при заданных значениях постоянной $\alpha=14{,}9$, температуры воздуха $T=300\ \text{K}$, количества вещества $\nu=5$ моль и давлении $p_1=1{,}5$ атмосферы:

$$14{,}9\cdot 5\cdot 300\cdot \log_2 \frac{p_2}{1{,}5}=22350 \Leftrightarrow \log_2 \frac{p_2}{1{,}5}=1 \Leftrightarrow \frac{p_2}{1{,}5}=2 \Leftrightarrow p_2=3\ \text{атм.}$$

Пусть $u$ км/ч — собственная скорость катера, тогда скорость катера по течению равна $u+3$ км/ч, а скорость катера против течения равна $u-3$ км/ч. На весь путь катер затратил $7-2=5$ (часов), отсюда имеем:

$$\frac{36}{u-3}+\frac{36}{u+3}=5 \Leftrightarrow \frac{72u}{u^2-9}=5 \Leftrightarrow 5u^2-72u-45=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u=\dfrac{72+\sqrt{72^2+4\cdot45\cdot5}}{10}=15;\\ u=\dfrac{72-\sqrt{72^2+4\cdot45\cdot5}}{10}=-\dfrac{3}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow_{u>0} u=15.$$

Таким образом, собственная скорость катера равна 15 км/ч.

По графику функции $f(x)=a^x$ определяем, что $f(1)=5$, то есть $a^1=5$, $a=5$. Значит, $f(x)=5^x$. Найдем $f(2): f(2)=5^2=25$.