Неравенства

Вероятность промаха по мишени равна 1 − 0,6  =  0,4. Тогда вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние, равна

$0,6 \cdot 0,6 \cdot 0,4 \cdot 0,4 \cdot = 0,0576.$

Найдем производную заданной функции:

$$y' = 3x^2 - 75 = 3(x^2 - 25) = 3(x - 5)(x + 5).$$

Найдем нули производной:

$$3(x - 5)(x + 5) = 0 \Leftrightarrow x_1 = -5;\ x_2 = 5.$$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума $x = -5$.

а) По ОТТ $\sin^2 x+\cos^2 x=1$. Отсюда $\cos^2 x=1-\sin^2 x$. Так как $\sin(-x)=-\sin x$, то получаем:

$$2\cos^2 x-3\sin(-x)-3=0$$

$$2-2\sin^2 x+3\sin x-3=0$$

$$2\sin^2 x-3\sin x+1=0$$

Пусть $\sin x=t$. Тогда $\sin^2 x=t^2$. Решим уравнение относительно новой переменной:

$$2t^2-3t+1=0$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1$$

$$t_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}$$

$$t_1=1$$

$$t_2=\frac{1}{2}$$

Сделаем обратную замену:

$$\left[ \begin{array}{l} \sin x=1\\ \sin x=\frac{1}{2} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\\ x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z} \end{array} \right.$$

б) Проведём отбор корней на числовой окружности: Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$, концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

Следовательно, на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$ лежат точки $\frac{5\pi}{2};\frac{17\pi}{6}$.

Ответ:

а) $\frac{\pi}{6}+2\pi k;\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k;\ \frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$

б) $\frac{5\pi}{2};\ \frac{17\pi}{6}$

а) Пусть $M', N'$ — точки пересечения $MN$ с диагоналями трапеции. Так как $SO\parallel\alpha$, то проведем $M'K, N'L\parallel SO$ и получим сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ — четырехугольник $KLNM$. Докажем, что это трапеция.

Так как $N$ и $M$ лежат в $\alpha$ и $MN\parallel AD$, то $\alpha\parallel AD$. Следовательно, она пересечет плоскость, в которой лежит $AD$, по прямой, параллельной $AD$. Следовательно,

$$KL\parallel AD\parallel MN.$$

Осталось доказать, что $MK$ не параллельна $NL$. Действительно, так как $M'K\parallel N'L$, то $\angle M'KL+\angle N'LK=180^\circ$. Тогда, так как $\angle M'KM+\angle N'LN>0^\circ$, то $\angle MKL+\angle KLN>180^\circ$, следовательно, $MK$ не параллельна $NL$.

б) Так как $\triangle BOC\sim\triangle AOD$, то пусть $BO\cdot k=OD$, $CO\cdot k=OA$. Тогда $BD=(k+1)BO$, $AC=(k+1)CO$.

Для точки $N'$ имеем:

$$\frac{DN'}{N'O}=\frac{\frac12 BD}{\frac12 BD-BO}=\frac{(k+1)BO}{(k-1)BO}=\frac{k+1}{k-1}$$

Из условия задачи $k=AD:BC=5:4$, следовательно, по теореме Фалеса

$$DL:LS=DN':N'O=\frac{\frac54+1}{\frac54-1}=9:1$$

Значит $KL=0{,}1AD=1$, а $N'L=0{,}9SO=7{,}2$. Так как $SO\perp AD$, то $N'L\perp MN$, следовательно, $N'L$ — высота трапеции, находящейся в сечении.

Тогда искомая площадь сечения равна

$$S_\alpha=\frac{1+9}{2}\cdot 7{,}2=36$$

Ответ: б) 36

Сделаем замену $2^x=t$ и сведем неравенство к виду

$$\frac{1}{t+112}+\frac{1}{t-128}\geq 0$$

$$\frac{t-128+t+112}{(t+112)(t-128)}\geq 0$$

$$\frac{2t-16}{(t+112)(t-128)}\geq 0$$

$$\frac{t-8}{(t+112)(t-128)}\geq 0$$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов, тогда

$$t\in(-112;8]\cup(128;+\infty)$$

Сделаем обратную замену:

$$\left[ \begin{array}{l} -112<2^x\leq 8\\ 2^x>128 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x\leq 3\\ x>7 \end{array} \right.$$

Таким образом, получаем

$$x\in(-\infty;3]\cup(7;+\infty).$$

Ответ:

$$(-\infty;3]\cup(7;+\infty)$$