Неравенства

1. Найдем производную функции: $$y' = (x^3 - 48x + 17)' = 3x^2 - 48$$

2. Найдем нули производной: $$3x^2 - 48 = 0 \Rightarrow x = \pm 4$$

3. Анализ производной:

Функция имеет минимум в точке $x = 4$.

а) Используя нечетность синуса и формулу приведения, получаем:

$$\sin(x-\pi)=-\sin(\pi-x)=-\sin x.$$

Применим формулу $1-\cos 2x=2\sin^2 x$:

$$2\sin^2x-\sqrt2\sin x+2\sin x-\sqrt2=0 \Leftrightarrow \sin x(2\sin x-\sqrt2)+(2\sin x-\sqrt2)=0 \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow (2\sin x-\sqrt2)(\sin x+1)=0 \Leftrightarrow \begin{cases} \sin x=\dfrac{\sqrt2}{2},\\ \sin x=-1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\\ x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\\ x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k, \end{cases} \quad k\in\mathbb Z.$$

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[-\pi;\frac{\pi}{2}]$, концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

Следовательно, на отрезке $[-\pi;\frac{\pi}{2}]$ лежат точки $-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{4}$.

Ответ: а) $\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k;\ \dfrac{\pi}{4}+2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k:\ k\in\mathbb Z\right\}$; б) $-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{4}$.

а) Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, значит, ребра $AB$ и $DC$ параллельны, а потому и плоскость $\alpha$ параллельна ребру $DC$. Следовательно, лежащая в плоскости $\alpha$ прямая $MN$ также параллельна ребру $DC$. Тогда треугольники $SNM$ и $SDC$ подобны по двум углам с коэффициентом $\frac15$. Таким образом, $SN:SD=1:5$, а потому $SN:ND=1:4$. Поскольку боковые ребра правильной пирамиды равны, $SM:MC=1:4$.

б) Пусть $MN=x$ и $SM=y$, тогда $MC=4y$ и $AB=AN=BM=5x$, и пусть точки $K$, $P$ и $Q$ — середины отрезков $AB$, $MN$ и $DC$ соответственно.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен $PK$, а гипотенуза равна $BM$. Тогда второй катет такого треугольника будет равен $BK-MP$. Аналогично получается прямоугольный треугольник с катетами $PQ$, $QC-PM$ и гипотенузой $MC$. Применим к обоим фигурам теорему Пифагора:

$$PK^2=BM^2-(BK-MP)^2=(5x)^2-\left(\frac{5x}{2}-\frac{x}{2}\right)^2=21x^2,$$

$$PQ^2=MC^2-(QC-PM)^2=(4y)^2-\left(\frac{5x}{2}-\frac{x}{2}\right)^2=16y^2-4x^2.$$

Косинус искомого угла равен косинусу угла между прямыми, перпендикулярными линии пересечения этих плоскостей, то есть $\cos\angle PKQ$ — искомый. Воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике $PKQ$:

$$\cos\angle PKQ=\frac{PK^2+KQ^2-PQ^2}{2\cdot PK\cdot KQ} =\frac{21x^2+25x^2-16y^2+4x^2}{2\cdot \sqrt{21}x\cdot 5x} =\frac{50x^2-16y^2}{10\sqrt{21}x^2}.$$

В равнобедренном треугольнике $SBC$ найдем косинус угла $SCB$:

$$\cos\angle SCB=\frac{25x^2+25y^2-25y^2}{2\cdot 5x\cdot 5y}=\frac{x}{2y}.$$

Косинус этого же угла выразим из треугольника $MBC$:

$$\cos\angle SCB=\frac{16y^2+25x^2-25x^2}{2\cdot 5x\cdot 4y}=\frac{2y}{5x}.$$

Приравняем полученные значения:

$$\frac{x}{2y}=\frac{2y}{5x}\Leftrightarrow 5x^2=4y^2\Leftrightarrow x^2=0{,}8y^2.$$

Наконец, подставим в выражение для косинуса искомого угла:

$$\cos\angle PKQ=\frac{40y^2-16y^2}{\sqrt{21}\cdot 8y^2} =\frac{24y^2}{\sqrt{21}\cdot 8y^2} =\frac{3}{\sqrt{21}} =\frac{\sqrt{21}}{7}.$$

Ответ: б) $\dfrac{\sqrt{21}}{7}$.

Выражение в числителе дроби представляет собой куб разности:

$$27^x-3\cdot 9^{x+1}+3^{x+5}-729=3^{3x}-27\cdot 3^{2x}+243\cdot 3^x-729=(3^x-9)^3,$$ а выражение в знаменателе — полный квадрат:

$$50x^2+10x+0{,}5=\frac12(100x^2+20x+1)=\frac12(10x+1)^2.$$

Решим неравенство методом интервалов и рационализации, для этого применим теорему о знаках: при положительных $a$ выражения $(a^b-a^c)$ и $(a-1)(b-c)$ имеют одинаковые знаки. Получим:

$$\frac{(3^x-9)^3}{(10x+1)^2}\le 0 \Leftrightarrow \frac{(3^x-3^2)^3}{(10x+1)^2}\le 0 \Leftrightarrow \frac{(x-2)^3}{(10x+1)^2}\le 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x<-\dfrac{1}{10},\\ -\dfrac{1}{10}<x\le 2. \end{cases}$$

Ответ:

$$\left(-\infty;-\frac{1}{10}\right)\cup\left(-\frac{1}{10};2\right].$$

Сумма кредита составляет 18 млн руб., срок  — 60 месяцев, а каждый месяц сумма долга уменьшается равномерно, поэтому ежемесячный платеж в счет погашения основного долга будет равен 0,3 млн руб. Составим график погашения кредита:

Общая сумма платежей в 2031 году равна сумме платежей с 49 по 60 месяц. Зная эту сумму, находим $r$:

$$0{,}3\cdot 12+3{,}6\cdot \frac{r}{100}+3{,}3\cdot \frac{r}{100}+\ldots+0{,}3\cdot \frac{r}{100}=3{,}951 \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow 3{,}6+\frac{r}{100}(3{,}6+3{,}3+\ldots+0{,}3)=3{,}951 \Leftrightarrow 3{,}6+\frac{r}{100}\cdot \frac{3{,}6+0{,}3}{2}\cdot 12=3{,}951 \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow 3{,}6+0{,}234r=3{,}951 \Leftrightarrow 0{,}234r=0{,}351 \Leftrightarrow r=1{,}5.$$

Ответ: $1{,}5$.