Неравенства

$$(*) 5 - 2^x > 0 \Rightarrow 2^x < 5 \Rightarrow x < \log_2 5$$

Сравним основание логарифма с 1: $$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{13}}{5} > 1 \Leftrightarrow \sqrt{2} + \sqrt{13} > 5 \Leftrightarrow4 + 2\sqrt{26} + 13 > 25 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 2\sqrt{26} > 10 \Leftrightarrow 104 > 100 \text{ верно }$$ Таким образом, основание логарифма: $$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{13}}{5} > 1$$

Так как основание логарифма больше 1, неравенство равносильно: $$4 \geq 5 - 2^x \Rightarrow 2^x \geq 1 \Rightarrow x \geq 0$$

Учитывая ограничение $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in [0; \log_2 5)$$

Ответ: $x \in [0; \log_2 5)$

$$(*) \begin{cases} 2x^2 + 1 > 0 \\ \tfrac{1}{32x} + 1 > 0 \\ \tfrac{x}{16} + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \tfrac{1 + 32x}{32x} > 0 \\ \tfrac{x + 16}{16} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -\tfrac{1}{32}) \cup (0; +\infty) \\ x > -16 \end{cases} \Rightarrow x \in (-16; -\tfrac{1}{32}) \cup (0; +\infty)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$\log_{11}\left((2x^2 + 1)\left(\tfrac{1 + 32x}{32x}\right)\right) \geq \log_{11}\left(\tfrac{x + 16}{16}\right)$$

Так как основание логарифма $11 > 1$, неравенство равносильно: $$\tfrac{(2x^2 + 1)(1 + 32x)}{32x} \geq \tfrac{x + 16}{16}$$ $$\tfrac{(2x^2 + 1)(1 + 32x)}{32x} - \tfrac{x + 16}{16} \geq 0$$ $$\tfrac{(2x^2 + 1)(1 + 32x) - 2x(x + 16)}{32x} \geq 0$$ $$\tfrac{2x^2 + 64x^3 + 1 + 32x - 2x^2 - 32x}{32x} \geq 0$$ $$\tfrac{64x^3 + 1}{32x} \geq 0$$ Разложим числитель на множители по формуле суммы кубов: $$\tfrac{(4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)}{32x} \geq 0$$ Учитывая, что $16x^2 - 4x + 1 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, неравенство упрощается до: $$\tfrac{4x + 1}{32x} \geq 0$$ $$\tfrac{x + \tfrac{1}{4}}{x} \geq 0$$

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; -\tfrac{1}{4}] \cup (0; +\infty)$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (-16; -\tfrac{1}{4}] \cup (0; +\infty)$$

Ответ: $x \in (-16; -\tfrac{1}{4}] \cup (0; +\infty)$

$$(*) \begin{cases} 8x^2 + 7 > 0 \\ x^2 + x + 1 > 0 \\ \tfrac{x}{x + 5} + 7 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \tfrac{x}{x + 5} + 7 > 0 \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \tfrac{8x + 35}{x + 5} > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -5) \cup \left(-\tfrac{35}{8}; +\infty\right)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$\log_{11}\left(\tfrac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1}\right) \geq \log_{11}\left(\tfrac{8x + 35}{x + 5}\right)$$

Так как основание логарифма $11 > 1$, неравенство равносильно: $$\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} \geq \frac{8x + 35}{x + 5} \Leftrightarrow \frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} - \frac{8x + 35}{x + 5} \geq 0$$ $$\frac{(8x^2 + 7)(x + 5) - (8x + 35)(x^2 + x + 1)}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \geq 0$$ $$\frac{8x^3 + 40x^2 + 7x + 35 - 8x^3 - 8x^2 - 8x - 35x^2 - 35x - 35}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \geq 0$$ $$\frac{-3x^2 - 36x}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \geq 0$$ $$\frac{-x^2 - 12x}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \geq 0$$

Домножим обе части на $-1$ и поменяем знак неравенства: $$\frac{x^2 + 12x}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \leq 0$$ $$\frac{x(x + 12)}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; -12] \cup (-5; 0]$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (-\infty; -12] \cup \left(-\tfrac{35}{8}; 0\right]$$

Ответ: $x \in (-\infty; -12] \cup \left(-\tfrac{35}{8}; 0\right]$

$$(*) \begin{cases} (4 - x)(x^2 + 29) > 0 \\ x^2 - 10x + 24 > 0 \\ 7 - x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4 - x > 0 \quad (\text{так как } x^2 + 29 > 0 \text{ для всех } x) \\ (x - 4)(x - 6) > 0 \\ x < 7 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x < 4 \\ x \in (-\infty; 4) \cup (6; +\infty) \\ x < 7 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; 4)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$\log_{\frac{1}{3}}((4 - x)(x^2 + 29)) \leq \log_{\frac{1}{3}}((x^2 - 10x + 24)(7 - x))$$

Так как основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, неравенство равносильно: $$(4 - x)(x^2 + 29) \geq (x^2 - 10x + 24)(7 - x)$$ $$(4 - x)(x^2 + 29) \geq (x - 4)(x - 6)(7 - x)$$

Умножим обе части на $-1$ и поменяем знак неравенства: $$(x - 4)(x^2 + 29) \leq (x - 4)(x - 6)(x - 7)$$

Так как $x < 4$, то $x - 4 < 0$, поэтому при делении на $(x - 4)$ знак неравенства меняется: $$x^2 + 29 \geq (x - 6)(x - 7)$$ $$x^2 + 29 \geq x^2 - 13x + 42$$ $$13x \geq 13 \Rightarrow x \geq 1$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in [1; 4)$$

Ответ: $x \in [1; 4)$

$$(*) \begin{cases} (x - 7)^2 > 0 \\ (x - 3)^4 > 0 \\ \frac{(x - 3)^3}{x - 7} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \neq 7 \\ x \neq 3 \\ \frac{(x - 3)^3}{x - 7} > 0 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; 3) \cup (7; +\infty) \\$$

Упростим неравенство: $$\log_{3^2}(x - 7)^2 \cdot \log_{3^4}(x - 3)^4 + \log_3\frac{(x - 3)^3}{x - 7} \geq 3$$ $$\frac{2}{2}\log_3|x - 7| \cdot \frac{4}{4}\log_3|x - 3| + \log_3\frac{(x - 3)^3}{x - 7} \geq 3$$ $$\log_3|x - 7| \cdot \log_3|x - 3| + 3\log_3|x - 3| - \log_3|x - 7| - 3 \geq 0$$

Рассмотрим два случая:

1. Случай $x > 7$: $$(\log_3(x - 7))(\log_3(x - 3) - 1) + 3(\log_3(x - 3) - 1) \geq 0$$ $$(\log_3(x - 3) - 1)(\log_3(x - 7) + 3) \geq 0$$ $$(\log_3(x - 3) - \log_33)\left(\log_3(x - 7) - \log_3\frac{1}{27}\right) \geq 0$$ По методу рационалиации: $$(x - 6)\left(x - \frac{190}{27}\right) \geq 0$$ C учётом $x > 7$, решение неравенства: $$x \geq \frac{190}{27}$$

2. Случай $x < 3$: $$(\log_3(7 - x))(\log_3(3 - x) - 1) + 3(\log_3(3 - x) - 1) \geq 0$$ $$(\log_3(3 - x) - 1)(\log_3(7 - x) + 3) \geq 0$$ $$(\log_3(3 - x) - \log_33)(\log_3(7 - x) - \log_3\tfrac{1}{27}) \geq 0$$ По методу рационализации: $$-x\left(\frac{188}{27} - x\right) \geq 0 \Leftrightarrow x\left(x - \frac{188}{27}\right) \geq 0$$

С учётом $x < 3$, решение неравенства: $$x \leq 0$$

Объединяя решения и учитывая ограничения (*), получаем: $$x \in (-\infty; 0] \cup \left[\frac{190}{27}; +\infty\right)$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup \left[\frac{190}{27}; +\infty\right)$