Неравенства

ОДЗ:

$$x \ge 0$$

Решение:

Перенесём $\sqrt{x}$ вправо:

$$\sqrt{x+4}=\sqrt{x}+2$$

Возведём в квадрат:

$$x+4=x+4\sqrt{x}+4$$

$$4\sqrt{x}=0$$

$$\sqrt{x}=0$$

$$x=0$$

Проверка:

$$\sqrt{0+4}-\sqrt{0}=2-0=2$$

Ответ:

$$x=0$$

ОДЗ:

$$x+9 \ge 0, \qquad x-7 \ge 0$$

Значит,

$$x \ge 7$$

Решение:

Перенесём один корень:

$$\sqrt{x+9}=4-\sqrt{x-7}$$

Возведём в квадрат:

$$x+9=16-8\sqrt{x-7}+x-7$$

$$x+9=x+9-8\sqrt{x-7}$$

$$8\sqrt{x-7}=0$$

$$\sqrt{x-7}=0$$

$$x=7$$

Проверка:

$$\sqrt{7+9}+\sqrt{7-7}=\sqrt{16}+0=4$$

Ответ:

$$x=7$$

ОДЗ:

$$x \ge 0$$

Решение:

Возводим в квадрат:

$$5x+4=(\sqrt{x}+4)^2$$

$$5x+4=x+8\sqrt{x}+16$$

$$4x-12=8\sqrt{x}$$

$$x-3=2\sqrt{x}$$

Сделаем замену:

$$t=\sqrt{x}, \qquad t \ge 0$$

Тогда:

$$t^2-3=2t$$

$$t^2-2t-3=0$$

$$(t-3)(t+1)=0$$

$$t=3 \quad \text{или} \quad t=-1$$

Так как $t \ge 0$, берём только:

$$t=3$$

Значит,

$$x=9$$

Проверка:

$$\sqrt{5\cdot 9+4}=\sqrt{49}=7, \qquad \sqrt{9}+4=3+4=7$$

Ответ:

$$x=9$$

ОДЗ:

$$x+5 \ge 0, \qquad x-1 \ge 0, \qquad 4x+8 \ge 0$$

Достаточно:

$$x \ge 1$$

Решение:

Возведём в квадрат:

$$(\sqrt{x+5}+\sqrt{x-1})^2=4x+8$$

$$x+5+x-1+2\sqrt{(x+5)(x-1)}=4x+8$$

$$2x+4+2\sqrt{(x+5)(x-1)}=4x+8$$

$$2\sqrt{(x+5)(x-1)}=2x+4$$

$$\sqrt{(x+5)(x-1)}=x+2$$

Снова возводим в квадрат:

$$(x+5)(x-1)=(x+2)^2$$

$$x^2+4x-5=x^2+4x+4$$

$$-5=4$$

Получили противоречие. Значит, решений нет.

Ответ:

$$\varnothing$$

ОДЗ:

Правая часть должна быть неотрицательной:

$$x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$$

Также:

$$x^2-5x+6 \ge 0$$

Разложим:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

Тогда:

$$(x-2)(x-3) \ge 0$$

$$x \le 2 \quad \text{или} \quad x \ge 3$$

С учётом $x \ge 2$:

$$x=2 \quad \text{или} \quad x \ge 3$$

Решение:

Возводим в квадрат:

$$x^2-5x+6=(x-2)^2$$

$$x^2-5x+6=x^2-4x+4$$

$$-x+2=0$$

$$x=2$$

Проверка:

$$\sqrt{2^2-5\cdot 2+6}=\sqrt{0}=0, \qquad 2-2=0$$

Ответ:

$$x=2$$