Неравенства

Пользуемся графиками.

1. По графику $I(U)$ при $U = 80~\text{В}$ сила тока $I > 1~\text{А}$, значит $P = UI > 80~\text{Вт}$ (неверно).
2. По графику $P(T)$ при $P = 150~\text{Вт}$ температура около 3200 K, а не менее 3000 K (неверно).
3. По графику $I(U)$ при $I = 2~\text{А}$, смотрим $P = I U$. По графику примерно $U \approx 100$ В, тогда $P \sim 200$ Вт, по $P(T)$ — температура действительно около 3600 K (верно).
4. Очевидно: чем больше ток, тем выше мощность и выше температура нити (верно).
5. см. пункт 3 (неверно).

$$(*) x > 0$$

Упростим неравенство, используя свойства логарифмов: $$\frac{\log_8x}{\log_8x - \log_864} \geq \frac{2}{\log_8x} + \frac{3}{\log_8^2x - 2\log_8x}$$ $$\frac{\log_8x}{\log_8x - 2} \geq \frac{2}{\log_8x} + \frac{3}{\log_8x (\log_8x - 2)}$$

Введем замену $t = \log_8x$, тогда неравенство примет вид: $$\frac{t}{t - 2} \geq \frac{2}{t} + \frac{3}{t(t - 2)}$$ $$\frac{t^2}{t(t - 2)} - \frac{2(t - 2)}{t(t - 2)} - \frac{3}{t(t - 2)} \geq 0$$ $$\frac{t^2 - 2t + 4 - 3}{t(t - 2)} \geq 0$$ $$\frac{t^2 - 2t + 1}{t(t - 2)} \geq 0$$ $$\frac{(t - 1)^2}{t(t - 2)} \geq 0$$

Решим неравенство методом интервалов:

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &t = 1\\ &t > 2\\ &t < 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_8x = 1\\ &\log_8x > 2\\ &\log_8x < 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 8\\ &x > 64\\ &x < 1 \end{aligned}\right.$$ С учётом $(*)$, получаем систему: $$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &x = 8\\ &x > 64\\ &x < 1 \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Получаем ответ: $$x \in (0; 1) \cup \{8\} \cup (64; +\infty)$$

Ответ: $x \in (0; 1) \cup \{8\} \cup (64; +\infty)$

Сделаем замену $3^x = t > 0$, $t \neq 27$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t^2 + 2t - 117}{t - 27} \leq 1$$

Перенесём 1 в левую часть: $$\frac{t^2 + 2t - 117 - (t - 27)}{t - 27} \leq 0$$ $$\frac{t^2 + t - 90}{t - 27} \leq 0$$

Разложим числитель на множители: $$\frac{(t + 10)(t - 9)}{t - 27} \leq 0$$

Учитывая, что $t = 3^x > 0$, решение неравенства: $$\begin{cases} t \geq 9\\ t < 27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3^x \geq 9\\ 3^x < 27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 2\\ x < 3 \end{cases}$$

Ответ: $x \in [2; 3)$

Упростим числитель и знаменатель: $$3^{2-x} = \frac{9}{3^x}$$ Сделаем замену $3^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{2t - \frac{90}{t}}{t - \frac{9}{t}} \geq 1$$ Умножим числитель и знаменатель на $t$: $$\frac{2t^2 - 90}{t^2 - 9} \geq 1$$ Перенесём 1 в левую часть: $$\frac{2t^2 - 90 - (t^2 - 9)}{t^2 - 9} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 81}{t^2 - 9} \geq 0$$ Разложим числитель и знаменатель на множители: $$\frac{(t - 9)(t + 9)}{(t - 3)(t + 3)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-\infty; -9) \cup (-3; 3) \cup [9; +\infty)$$ Учитывая, что $t = 3^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &0 < t < 3 \\ &t \geq 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &3^x < 3 \\ &3^x \geq 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x < 1 \\ &x \geq 2 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup [2; +\infty)$

Сделаем замену $3^x = t > 0$, $t \neq 1$. Тогда неравенство примет вид: $$t - \frac{702}{t - 1} \geq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{t(t - 1) - 702}{t - 1} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - t - 702}{t - 1} \geq 0$$ Разложим числитель на множители: $$\frac{(t - 27)(t + 26)}{t - 1} \geq 0$$

Учитывая, что $t = 3^x > 0$, решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &0 < t < 1 \\ &t \geq 27 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &3^x < 1 \\ &3^x \geq 27 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x < 0 \\ &x \geq 3 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [3; +\infty)$