Неравенства

Сделаем замену $3^x = t > 0$, $t \neq 6$, $t \neq 9$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t^2 - 3t - 19}{t - 6} + \frac{9t^2 - 81t + 2}{t - 9} \leq 10t + 3$$

Выделим целые части: $$\frac{t^2 - 3t - 19}{t - 6} = t + 3 + \frac{-1}{t - 6}$$ $$\frac{9t^2 - 81t + 2}{t - 9} = 9t + \frac{2}{t - 9}$$

Подставим обратно в неравенство: $$t + 3 - \frac{1}{t - 6} + 9t + \frac{2}{t - 9} \leq 10t + 3$$ $$10t + 3 - \frac{1}{t - 6} + \frac{2}{t - 9} \leq 10t + 3$$

Перенесём все слагаемые в левую часть: $$- \frac{1}{t - 6} + \frac{2}{t - 9} \leq 0$$ $$\frac{- (t - 9) + 2(t - 6)}{(t - 6)(t - 9)} \leq 0$$ $$\frac{-t + 9 + 2t - 12}{(t - 6)(t - 9)} \leq 0$$ $$\frac{t - 3}{(t - 6)(t - 9)} \leq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-\infty; 3] \cup (6; 9)$$

Учитывая, что $t = 3^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &0 < t \leq 3 \\ &6 < t < 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &3^x \leq 3 \\ &6 < 3^x < 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \leq 1 \\ &\log_3 6 < x < 2 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup (\log_3 6; 2)$

Преобразуем исходное неравенство: $$27 \cdot 45^x - 27 \cdot 27^x - 12 \cdot 15^x + 12 \cdot 9^x + 5^x - 3^x \leq 0$$ $$27 \cdot 9^x \cdot 5^x - 27 \cdot 27^x - 12 \cdot 3^x \cdot 5^x + 12 \cdot 9^x + 5^x - 3^x \leq 0$$ $$27 \cdot 9^x (5^x - 3^x) - 12 \cdot 3^x (5^x - 3^x) + (5^x - 3^x) \leq 0$$ Упростим выражение: $$(5^x - 3^x)(27 \cdot 9^x - 12 \cdot 3^x + 1) \leq 0$$ Разделим обе части неравенства на $3^x > 0$: $$\left(\left(\frac{5}{3}\right)^x - 1\right)(27 \cdot 9^x - 12 \cdot 3^x + 1) \leq 0$$ $$\left(\left(\frac{5}{3}\right)^x - 1\right)\left(3^x - \frac{1}{3}\right)\left(3^x - \frac{1}{9}\right) \leq 0 \Leftrightarrow \left(\left(\frac{5}{3}\right)^x - 1\right)\left(3^x - 3^{-1}\right)\left(3^x - 3^{-2}\right) \leq 0$$

По методу рационализации: $$x(x + 1)(x + 2) \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; -2] \cup [-1; 0]$$

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [-1; 0]$

Сделаем замену $t = 9^x - 2 \cdot 3^x$. Тогда неравенство примет вид: $$t^2 - 62t - 63 \geq 0 \Leftrightarrow (t - 63)(t + 1) \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \leq -1 \quad \text{или} \quad t \geq 63$$

Сделаем обратную замену: $$\left[\begin{aligned} &9^x - 2 \cdot 3^x \leq -1 \\ &9^x - 2 \cdot 3^x \geq 63 \end{aligned}\right.$$

Рассмотрим первое неравенство: $$9^x - 2 \cdot 3^x + 1 \leq 0 \Leftrightarrow (3^x - 1)^2 \leq 0$$ Так как квадрат выражения всегда неотрицателен, равенство достигается только при: $$3^x - 1 = 0 \Leftrightarrow 3^x = 1 \Leftrightarrow x = 0$$

Рассмотрим второе неравенство: $$9^x - 2 \cdot 3^x - 63 \geq 0$$ Сделаем замену $a = 3^x > 0$: $$a^2 - 2a - 63 \geq 0 \Leftrightarrow (a - 9)(a + 7) \geq 0$$

Учитывая, что $a = 3^x > 0$, получаем: $$a \geq 9 \Leftrightarrow 3^x \geq 9 \Leftrightarrow x \geq 2$$

Объединяя решения: $$x = 0 \quad \text{или} \quad x \geq 2$$

Ответ: $x \in \{0\} \cup [2; +\infty)$

Преобразуем числитель и знаменатель: $$6^x - 4\cdot3^x = 3^x(2^x - 4)$$ $$x\cdot2^x - 5\cdot2^x -4x + 20 = 2^x(x - 5) -4(x - 5) = (x - 5)(2^x - 4)$$

Неравенство принимает вид: $$\frac{3^x(2^x - 4)}{(x - 5)(2^x - 4)} \leq \frac{1}{x - 5}$$

Упрощаем, учитывая $2^x - 4 \neq 0$ (т.е. $x \neq 2$): $$\frac{3^x}{x - 5} \leq \frac{1}{x - 5}$$

Переносим все в левую часть: $$\frac{3^x - 1}{x - 5} \leq 0$$ $$\frac{3^x - 3^0}{x - 5} \leq 0$$ По методу рационализации: $$\frac{x}{x - 5} \leq 0$$

Ответ: $x \in [0; 2) \cup (2; 5)$

Упростим числитель и знаменатель: $$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x, \quad 2^{2-x} = \frac{4}{2^x}, \quad 2^{6-x} = \frac{64}{2^x}$$ Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{2t - \frac{68}{t}}{t - \frac{64}{t}} \geq 1$$ Умножим числитель и знаменатель на $t$: $$\frac{2t^2 - 68}{t^2 - 64} \geq 1$$ Перенесём 1 в левую часть: $$\frac{2t^2 - 68 - (t^2 - 64)}{t^2 - 64} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 4}{t^2 - 64} \geq 0$$ Разложим числитель и знаменатель на множители: $$\frac{(t - 2)(t + 2)}{(t - 8)(t + 8)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-\infty; -8) \cup [-2; 2] \cup (8; +\infty)$$ Учитывая, что $t = 2^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &0 < t \leq 2 \\ &t > 8 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &2^x \leq 2 \\ &2^x > 8 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \leq 1 \\ &x > 3 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup (3; +\infty)$