Неравенства

$$x^2 + 3x - 4 < 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 4) < 0$$

Ответ: $(-4; 1)$

$$x^2 -2x + 1 \leq 0 \Leftrightarrow (x - 1)^2 \leq 0 \Rightarrow x = 1$$

Ответ: $1$

$$x(x^2 + 2x + 1) \geq 0 \Leftrightarrow x(x + 1)^2 \geq 0$$

Ответ: $\{-1\} \cup [0; +\infty)$

Решение:

$$\left(* \right) \quad x^2 -3x + 2 \neq 0$$ $$x \neq 1 \quad x \neq 2$$

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю, предварительно разложив и числитель и знаменатель на множители:

$$\frac{4x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2} = 1 - 2x$$ $$\frac{(2x - 1)(2x + 1)}{(x - 1)(x - 2)} + 2x - 1 = 0$$ $$\frac{(2x - 1)(2x + 1) + (2x - 1)(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} = 0$$ $$\frac{(2x - 1)(2x + 1) + (2x - 1)(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} = 0$$

Вынесем общий множитель в числителе:

$$\frac{(2x - 1)((2x + 1) + (x - 1)(x - 2))}{(x - 1)(x - 2)} = 0$$ $$\frac{(2x - 1)(2x + 1+ x^2 - 3x + 2)}{(x - 1)(x - 2)} = 0$$ $$\frac{(2x - 1)(x^2 - x + 3)}{(x - 1)(x - 2)} = 0$$

Отсюда получаем:

$$2x - 1 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 -x + 3 = 0$$ $$x = \frac{1}{2} \quad \quad x^2 -x + 3 > 0 \quad (\text{так как D < 0})$$

Ответ: $\frac{1}{2}$

$$\left(*\right) \quad x^2 - 4x + 3 \neq 0 \quad x - 3 \neq 0 \quad x -2 \neq 0$$ $$(x - 1)(x - 3) \neq 0 \quad x \neq 3 \quad x \neq 2$$ $$x \neq 1 \quad x \neq 3 \quad x \neq 2$$

Приведём к общему знаменателю правую часть уравнения:

$$\frac{1}{x^2 - 4x + 3} = \frac{1}{(x - 3)(x - 2)}$$

Данные дроби будут равны тогда, когда будут равны их знаменатели:

$$x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 2)$$ $$x^2 - 4x + 3 = x^2 -5x + 6$$ $$x = 3$$

Но по условию задачи $x \neq 3$

Ответ: нет корней