Неравенства

$$\left(*\right) \quad x^2 + 2x + 4 \neq 0$$ $$D < 0 \Rightarrow x^2 + 2x + 4 \neq 0 \text{ при любых } x$$

Перенесём всё в левую часть уравнения и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(x - 2)(x + 3) - (x + 3)(x^2 + 2x + 4)}{x^2 + 2x + 4} = 0$$ $$\frac{(x + 3)(x - 2 - x^2 - 2x - 4)}{x^2 + 2x + 4} = 0$$ $$\frac{(x + 3)(- x^2 - x - 6)}{x^2 + 2x + 4} = 0$$ $$x = -3 \quad \text{или} \quad -x^2 - x - 6 = 0$$ $$D < 0 \Rightarrow -x^2 - x - 6 \neq 0\text{ при любых } x$$

Ответ: $-3$

$$\left(*\right) \quad x \neq 0 \quad x \neq -1$$

Приведём всё к общему знаменателю:

$$\frac{x + 1 + x - 2x(x + 1)}{x(x + 1)} = 0$$ $$\frac{-2x^2 + 1}{x(x + 1)} = 0$$ $$\frac{(1 - \sqrt2\cdot x)(1 + \sqrt2\cdot x)}{x(x + 1)} = 0$$ $$x = \frac{1}{\sqrt2} \quad x = -\frac{1}{\sqrt2}$$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt2}; -\frac{1}{\sqrt2};$

Перенесём все слагаемые влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2x-3}{x} - \frac{3-2x}{2x(x-2)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(2x-3)2(x-2) - (3-2x)}{2x(x-2)} \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{4x^2 - 14x+ 12 - 3+2x}{2x(x-2)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{4x^2 - 12x + 9}{2x(x-2)} \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{(2x - 3)^2}{2x(x-2)} \geq 0$$

Метод интервалов:

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup \left\{\frac{3}{2}\right\} \cup (2; +\infty)$

Перенесём все слагаемые влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(x-2)(x-3) + (x+6)(x-3) - (x+6)(x-2)}{(x+6)(x-2)(x-3)} \geq 0$$

Упростим числитель: $$\frac{x^2 - 6x}{(x+6)(x-2)(x-3)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{x(x - 6)}{(x+6)(x-2)(x-3)} \geq 0$$

Метод интервалов:

$$x \in (-6; 0] \cup (2; 3) \cup [6; +\infty)$$

Ответ: $x \in (-6; 0] \cup (2; 3) \cup [6; +\infty)$

Разложим знаменатель и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{7}{(x-2)(x-3)} + \frac{9}{x-3} + 1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{7 + 9(x-2) + (x-2)(x-3)}{(x-2)(x-3)} \leq 0$$

Упростим числитель: $$\frac{x^2 + 4x - 5}{(x-2)(x-3)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(x + 5)(x - 1)}{(x-2)(x-3)} \leq 0$$

Метод интервалов:

Ответ: $x \in [-5; 1] \cup (2; 3)$