Неравенства

Перенесём все слагаемые влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{3x^2 - 5x + 2 - x^2 - 8x + 9}{(x^2+8x-9)(3x^2-5x+2)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2x^2 - 13x + 11}{(x+9)(x-1)(3x-2)(x-1)} \geq 0$$

Найдём корни числителя: $$x = \frac{13 \pm \sqrt{169-88}}{4} = \frac{13 \pm 9}{4} \Rightarrow x_1=1, x_2=5.5$$

$$\Leftrightarrow \frac{(x - 1)(x -5.5)}{(x+9)(x-1)(3x-2)(x-1)} \geq 0$$

Метод интервалов:

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup \left(\frac{2}{3}; 1\right) \cup [5.5; +\infty)$

Разложим на множители: $$\frac{(x-2)^2(x+2)^2(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)^3(x+2)^2} \leq 0$$

Метод интервалов:

Ответ: $x \in [-1; 1) \cup \{2\}$

Перенесём $1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{3}{x^2 + 2x + 4} - 1< 0 \Leftrightarrow \frac{3 - x^2 - 2x - 4}{x^2 + 2x + 4} < 0 \Leftrightarrow \frac{-x^2 - 2x - 1}{x^2 + 2x + 4} < 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 2x + 4} > 0 \Leftrightarrow \frac{(x+ 1)^2}{x^2 + 2x + 4} > 0$$

Знаменатель дроби всегда положителен (так как $D > 0$). Числитель неотрицателен. Поэтому неравенство верно при любом $x$ кроме $x = -1$, так как числитель обернётся в $0$, что не удовлетворяет неравенству.

Ответ: $x \neq-1$

Перенесём $x + 1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x}{x - 1} - (x + 1) > 0 \Leftrightarrow \frac{x - (x + 1)(x - 1)}{x - 1} > 0 \Leftrightarrow \frac{x - x^2 + 1}{x - 1} > 0 \Leftrightarrow \frac{-x^2 + x + 1}{x - 1} > 0$$

Умножим обе части неравенства на $-1$ (не забывая изменить знак неравенства):

$$\frac{x^2 - x - 1}{x - 1} < 0$$

Найдём корни числителя и знаменателя:

$$x^2 - x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ $$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$$

Воспользуемся методом интервалов:

Неравенство выполняется на интервалах, где дробь $< 0$:

$$x \in \left(-\infty; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(1; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)$$

Ответ: $x \in \left(-\infty; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(1; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)$

Перенесём $x - 1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x + 7}{x + 2} - (x - 1) > 0 \Leftrightarrow \frac{x + 7 - (x - 1)(x + 2)}{x + 2} > 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{x + 7 - x^2 - 2x + x + 2}{x + 2} > 0 \Leftrightarrow \frac{-x^2 + 9}{x + 2} > 0$$

Умножим обе части неравенства на $-1$:

$$\frac{x^2 - 9}{x + 2} < 0 \Leftrightarrow \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 2} < 0$$

Воспользуемся методом интервалов:

Неравенство выполняется на промежутках, где дробь $< 0$:

$$x \in (-\infty; -3) \cup (-2; 3)$$

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; 3)$