Неравенства

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x+16)e^{16-x}\right)' = e^{16-x} + (x+16)(-e^{16-x}) = e^{16-x} + (-x - 16) e^{16-x}$$

$$e^{16-x}(1 - x - 16) = e^{16-x}(-15 - x)$$

1. Найдём нули производной: $$(-15-x)e^{16-x} = 0 \Rightarrow x=-15$$ (так как $e^{16-x} > 0$ для всех $x$)

2. Анализ поведения функции:

Функция возрастает при $x < -15$ и убывает при $x > -15$, поэтому $x = -15$ - точка максимума.

Сделаем замену $t = x^2 \geq 0$. Тогда неравенство примет вид: $$2t^2 - 17t + 36 \geq 0$$

Найдем корни квадратного уравнения: $$2t^2 - 17t + 36 = 0 \Rightarrow t = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 288}}{4} = \frac{17 \pm 1}{4}$$ $$t_1 = 4, \quad t_2 = \frac{9}{2}$$

Решение неравенства: $$t \leq 4 \quad \text{или} \quad t \geq \frac{9}{2}$$

1. $x^2 \leq 4$ $$-2 \leq x \leq 2 \Rightarrow x \in [-2; 2]$$

2. $x^2 \geq \frac{9}{2}$ $$x \leq -\frac{3\sqrt{2}}{2} \quad \text{или} \quad x \geq \frac{3\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x \in\left[-\frac{3\sqrt2}{2}; \frac{3\sqrt2}{2}\right]$$

Сравним концы промежутков: $$2 < \frac{3\sqrt2}{2} \Leftrightarrow 4 < 3\sqrt2 \Leftrightarrow 16 < 18 \text{ верно }$$ $$-2 > -\frac{3\sqrt2}{2} \Leftrightarrow 2 <\frac{3\sqrt2}{2} \text{ верно }$$

Ответ: $x \in (-\infty; -\tfrac{3\sqrt{2}}{2}] \cup [-2; 2] \cup [\tfrac{3\sqrt{2}}{2}; +\infty)$

Сделаем замену $t = x^2 + 4x$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{10}{t} + 23 \geq 5t$$

Перенесем все слагаемые в левую часть: $$\frac{10 + 23t - 5t^2}{t} \geq 0 \Rightarrow \frac{-5t^2 + 23t + 10}{t} \geq 0$$

Нули числителя: $$-5t^2 + 23t + 10 = 0 \Rightarrow t = 5 \quad \text{или} \quad t = -0.4$$

Решение: $$t \in (-\infty; -\tfrac{2}{5}] \cup (0;5]$$ Получаем совокупность: $$\left[\begin{aligned} &t \leq -\tfrac{2}{5}\\ &\begin{cases} t > 0\\ t \leq 5 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x^2 + 4x \leq -\tfrac{2}{5}\\ &\begin{cases} x^2 + 4x > 0\\ x^2 + 4x \leq 5 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & 5x^2 + 20 + 2 \leq 0\\ &\begin{cases} x(x + 4) > 0\\ x^2 + 4x - 5 \leq 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & 5x^2 + 20 + 2 \leq 0\\ &\begin{cases} x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)\\ x \in [-5; 1] \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x \in \left[\tfrac{-10 - 3\sqrt{10}}{5}; \tfrac{-10 + 3\sqrt{10}}{5}\right]\\ &\begin{cases} x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)\\ x \in [-5; 1] \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x \in \left[\tfrac{-10 - 3\sqrt{10}}{5}; \tfrac{-10 + 3\sqrt{10}}{5}\right]\\ &x \in [-5;-4) \cup (0; 1] \end{aligned}\right.$$

Сравним концы второго промежутка совокупности с концами первого промежутка совокупности:

$$-4 < \tfrac{-10 -3\sqrt{10}}{5} \Leftrightarrow 20 > 10 + 3\sqrt{10} \Leftrightarrow 10 > 3\sqrt{10} \Leftrightarrow100 >90 \text{ верно }$$ $$\tfrac{-10 +3\sqrt{10}}{5} < 0 \Leftrightarrow 3\sqrt{10} < 10 \text{ верно }$$ Получаем: $x \in [-5;-4) \cup \left[\tfrac{-10 - 3\sqrt{10}}{5}; \tfrac{-10 + 3\sqrt{10}}{5}\right] \cup (0; 1]$

Ответ: $x \in [-5;-4) \cup \left[\tfrac{-10 - 3\sqrt{10}}{5}; \tfrac{-10 + 3\sqrt{10}}{5}\right] \cup (0; 1]$

Сделаем замену $t = x^2 - 2x$. Тогда неравенство примет вид: $$4(t - 1) > t^2 - 1 \Rightarrow t^2 - 4t + 3 < 0 \Leftrightarrow (t - 1)(t - 3) < 0$$

Решение: $$1 < t < 3 \Leftrightarrow 1 < x^2 - 2x < 3$$ $$\begin{cases} x^2 -2x - 1 > 0\\ x^2 -2x - 3 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} (x - 1 + \sqrt2)(x - 1 - \sqrt2) > 0\\ (x + 1)(x - 3) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; 1 - \sqrt2) \cup (1 + \sqrt2; +\infty)\\ x \in (-1; 3) \end{cases}$$

Ответ: $x \in (-1;1 - \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}; 3)$

Рассмотрим три случая раскрытия модулей: $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} x < -3\\ 3(-x - 3) - 3x - 14 + (2 - x) \leq 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} -3 \leq x < 2\\ 3(x + 3) - 3x - 14 + (2 - x) \leq 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} x \geq 2\\ 3(x + 3) - 3x - 14 + (x - 2) \leq 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x < -3\\ -7x - 21 \leq 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} -3 \leq x < 2\\ - x - 3 \leq 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} x \geq 2\\ x - 7 \leq 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x < -3\\ x \geq -3 \end{cases}\\ &\begin{cases} -3 \leq x < 2\\ x \geq -3 \end{cases}\\ &\begin{cases} x \geq 2\\ x \leq 7 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \in \left[-3; 2\right)\\ &x \in \left[2; 7\right] \end{aligned}\right.$$

Ответ: $\left[-3; 7\right]$