Неравенства

$$(*) \begin{cases} x^2 - 8x + 17 - a^2 > 0 \\ 7x - 4 \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 4 \end{cases}$$

Уравнение можно переписать в виде: $$\sqrt{7x - 4}\cdot\ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{7x - 4} = 0 \\ &\ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0 \end{aligned} \right.$$

Первое уравнение: $$\sqrt{7x - 4} = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{7} \in [0; 4]$$

Проверим, при каких значениях параметра $a$, $x = \frac{4}{7}$ является корнем, для этого подставим его в $(*)$: $$\left(\frac{4}{7}\right)^2 - 8\cdot\frac{4}{7} + 17 - a^2 > 0 \Leftrightarrow \frac{16}{49} - \frac{32}{7} + 17 - a^2 > 0 \Leftrightarrow \frac{625}{49} > a^2 \Rightarrow a \in \left(-\frac{25}{7}; \frac{25}{7}\right)$$

Второе уравнение: $$\ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0 \Rightarrow x^2 - 8x + 17 - a^2 = 1 \Rightarrow (x-4)^2 = a^2$$ $$\Rightarrow x = 4 \pm a$$

Проверим условия для каждого корня:

1. Для $x = 4 - a$: $$\begin{cases} 4 - a \geq \frac{4}{7} \\ 0 \leq 4 - a \leq 4 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \leq \frac{24}{7} \\ 0 \leq a \leq 4 \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left[0; \frac{24}{7}\right]$$

2. Для $x = 4 + a$: $$\begin{cases} 4 + a \geq \frac{4}{7} \\ 0 \leq 4 + a \leq 4 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \geq -\frac{24}{7} \\ -4 \leq a \leq 0 \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left[-\frac{24}{7}; 0\right]$$

Проверим совпадение корней: $$4 - a = 4 + a \Rightarrow a = 0$$ $$4 - a = \frac{4}{7} \Rightarrow a = \frac{24}{7}$$ $$4 + a = \frac{4}{7} \Rightarrow a = -\frac{24}{7}$$

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0; 4]$ при: $$a \in \left(-\frac{25}{7}; -\frac{24}{7}\right] \cup \left[\frac{24}{7}; \frac{25}{7}\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{25}{7}; -\frac{24}{7}\right] \cup \left[\frac{24}{7}; \frac{25}{7}\right)$

Производная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной к оси $X$, т.е её угловому коэффициенту.

Пусть $A(-6; -2), \quad B(2; 4), \quad C(2; 2)$

Найдём $\tg \angle BAC$:

$$\tg \angle BAC = \frac{BC}{AC} = \frac{2}{8} = 0,25$$

Введём функцию $f(x) = x^2 - (2a - 1)x + 4 - a$. Графиком функции $y = f(x)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Эта парабола должна пересекать ось $Ox$ в двух точках (то есть исходное уравнение должно иметь два различных корня).

Выполнения этих условий можно добиться следующей конфигурацией:

$$f(3) < 0 \Leftrightarrow3^2 - (2a - 1)\cdot3 + 4 - a < 0 \Leftrightarrow9 - 6a + 3+ 4-a < 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 7a > 16 \Rightarrow a > \frac{16}{7}$$

Ответ: $\left(\frac{16}{7}; +\infty\right)$

Решение 1.

Нам известны три точки: $$(-1, -1), (-2, -4), (-3, -5)$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} a\cdot(-1)^2 -b + c = -1\\ a\cdot(-2)^2 - 2b + c = -4\\ a\cdot(-3)^2 - 3b + c = -5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a - b + c = -1\\ 4a - 2b + c = -4\\ 9a - 3b + c = -5 \end{cases}$$

Решая систему, мы получаем значения: $$a = 1, b = 6, c = 4$$

Запишем функцию: $$f(x) = x^2 + 6x + 4$$

Найдём значение $f(1)$: $$f(1) = 1 + 6 + 4 = 11$$

Решение 2.

Из графика известно:

• Вершина параболы в точке $(-3, -5)$
• Точка $(-1, -1)$ принадлежит графику

Запишем уравнение в виде: $$f(x) = a(x + 3)^2 - 5$$

Используем точку $(-1, -1)$: $$-1 = a(-1 + 3)^2 - 5 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1$$

Таким образом: $$f(x) = (x + 3)^2 - 5$$

Вычислим $f(1)$: $$f(1) = (1 + 3)^2 - 5 = 16 - 5 = 11$$

Для четырёхугольника с вписанной окружностью: $$AB + CD = AD + BC$$ $$10 + 15 = AD + 11$$ $$AD = 25 - 11 = 14$$