Неравенства

Применим формулу приведения: $$\sin(\pi - x) = \sin x$$

Получаем: $$\sin x = -\frac{\sqrt3}{2}$$

$$\sin x = -\frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z \quad \text{или} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$$

Применим формулу приведения: $$\cos \left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x$$

Получаем: $$\sin x = -\frac{1}{2}$$

$$\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z \quad \text{или} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$$

$$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$$ $$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$$

Упростим уравнение: $$2\sin^2x + \sqrt{3}\cos x - 2 = 0$$ Выразим $\sin^2x$ через $\cos x$: $$2(1 - \cos^2x) + \sqrt{3}\cos x - 2 = 0$$ $$-2\cos^2x + \sqrt{3}\cos x = 0$$ $$\cos x(-2\cos x + \sqrt{3}) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} &\cos x = 0 \\ &\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ &x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

Используем формулу приведения: $$\cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin 2x$$ Подставляем в уравнение: $$\sin 2x = \sqrt{3}\cos x$$ $$2\sin x \cos x - \sqrt{3}\cos x = 0$$ $$\cos x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

Используем формулу приведения: $$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$$ Подставим в уравнение: $$\cos 2x - \sqrt{2}\sin x + 1 = 0$$ Выразим $\cos 2x$ через $\sin x$: $$1 - 2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 1 = 0$$ $$-2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 2 = 0$$ $$2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - 2 = 0$$ Сделаем замену $t = \sin x$: $$2t^2 + \sqrt{2}t - 2 = 0$$ $$D = 2 + 16 = 18$$ $$t = \frac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{4}$$ $$t = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{или} \quad t = -\sqrt{2} \notin [-1; 1]$$ $$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$