Неравенства

Представим исходную функцию как $f(t) = t^2 + 4t + 4 = (t + 2)^2$.

Графиком этой функции будет парабола с вершиной в точке $(-2; 0)$.

Тогда функция $f(t + 4) = (t + 4)^2 + 4(t + 4)+ 4$ – та же парабола парабола, но смещённая влево на $4$ единицы.

Значит координаты её вершины равны: $(-6; 0)$.

В осях $xOy$ исходная функция будет выглядеть аналогично.

Найдём точку пересечения с осью $Y$: $$f(0) = 16 + 16 + 4 = 36$$ Строим график:

Графиком данной функции является "уголок" (график прямой, симметричный относительно оси $Oy$).

Коэффициент $3$ увеличивает скорость роста функции, то есть при сдвиге на единицу влево или вправо от вершины уголка значение функции изменится на 3 единицы.

Вершина уголка будет иметь координаты: $(0; -2)$

Построим график функции:

Графиком данной функции является "уголок" (график прямой, симметричный относительно оси $Oy$),

Коэффициент $2$ перед модулем увеличивает скорость роста функции, то есть при сдвиге на единицу влево или вправо от вершины уголка значение функции изменится на 2 единицы.

Коэффициент $-4$ под модулем сдвигает вершину уголка на 4 единицы вправо, а коэффициент $+2$ поднимает её на 2 единицы вверх.

Вершина уголка будет иметь координаты: $(4; 2)$

Построим график функции:

Подмодульное выражение функции представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх.

Модуль "отражает" часть графика относительно оси $Ox$, так как ниже значение функции отрицательно.

Найдём точки, в которых функция пересекает ось $Ox$: $$|x^2 - 7x + 6| = 0 \Leftrightarrow x^2 - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow x = 1 \text{ или } x = 6$$ Найдём координаты вершины параболы: $$x_0 = \frac{7}{2}, \quad y_0 = f(x_0) = \left|\left(\frac{49}{4}\right) - \frac{49}{2} + 6\right| = \left|-\frac{25}{4}\right| = \frac{25}{4}$$

Строим график:

Подмодульное выражение функции представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз.

Модуль "отражает" часть графика относительно оси $Ox$, так как ниже значение функции отрицательно.

Найдём точки, в которых функция пересекает ось $Ox$: $$|-x^2 - 4x + 5| = 0 \Leftrightarrow -x^2 - 4x + 5 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow x = 1 \text{ или } x = -5$$ Найдём координаты вершины параболы: $$x_0 = \frac{4}{-2} = -2, \quad y_0 = f(x_0) = |-(-2)^2 -4\cdot(-2) + 5| = 9$$

Строим график: